TEORIA DE LA ESTIMACION ESTADÍSTICA

ESTADÍSTICA MODULO IV

TEORIA DE LA ESTIMACION ESTADÍSTICA

Estimación es el proceso de usar un estadístico muestral para estimar el correspondiente parámetro poblacional desconocido. a) Método para estimar una media poblacional a partir de una media muestral x b) Método para estimar una proporción poblacional P a partir de una proporción muestral p. c) Método para determinar un tamaño adecuado de muestra para estimaciones de medias o de proporciones.

CARACTERÍSTICAS DE LOS ESTIMADORES Conviene que los estadísticos, en su función de estimadores de los correspondientes parámetros, reúnan determinados requisitos. Fundamentalmente son:

a) CARENCIA DE SESGO. Un estimador (estadístico) carece de sesgo si el promedio (media) de todos los valores posibles de todas las muestras posibles de tamaño n de una población es igual al parámetro, es decir, si la media de la distribución muestral del estadístico considerado es igual al valor del parámetro. Así, la media es un estimador insesgado de μ porque se puede demostrar que la media aritmética de una distribución muestral coincide con el valor del parámetro, algo que no puede decirse, por ejemplo, o de la varianza o de la mediana de una población no distribuida normalmente.

b) CONSISTENCIA. Un estimador es consistente en la medida en que, al aumentar el tamaño de la muestra, (n) su valor se acerca cada vez más al parámetro correspondiente o lo que es lo mismo, si a medida que aumenta el tamaño de la muestra, las estimaciones que ésta proporciona son cada vez más próximas al valor del parámetro. Algunos estimadores sesgados son consistentes, acercándose cada vez más sus valores a los de sus respectivos parámetros a medida que el tamaño de la muestra (n) aumenta, tal es el caso de s o s2 que son estimadores sesgados pero consistentes de la desviación típica (σ) o de la varianza (σ2) de la población.

c) EFICIENCIA La 3ª propiedad de los estimadores es su eficiencia, que se refiere a la precisión que alcanzan los estadísticos en la estimación de los parámetros, es decir, un estimador será tanto más eficiente cuanto menos varíe de muestra a muestra de una misma población. Como la variabilidad de una distribución muestral viene dada por su error típico, un buen estimador será aquel que menor error típico alcanza. Así, entre la media y la mediana, la primera es claramente más eficiente. La varianza de la distribución muestral de la mediana es mayor que la de la media, lo que significa que la mediana fluctúa más que la media en muestras sucesivas de la misma población. En general, para escoger un óptimo estimador de un parámetro, deben combinarse los criterios de no tendenciosidad (carencia de sesgo) y de eficiencia. Ante dos estimadores insesgados del mismo parámetro, se preferirá aquel que tenga mayor eficiencia, es decir, que tenga el mínimo error en términos de varianza.

• Estimadores insesgados: Media, Mediana, Moda, la desviación típica cuando n es tiende a infinito, la cuasivarianza muestral

• Estimadores sesgados: la varianza muestral.

• Estimadores consistentes: Proporciones, la media, la varianza y desviación típìca.

• Estimadores insesgados y no eficientes: Mediana muestral (estimador insesgado de μ]

ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS, es un proceso para obtener información sobre una población que se basa en la teoría del muestreo, se divide en : a) ESTIMACION DE PUNTO: Es un número único que es usado para representar la estimación del parámetro. b) ESTIMACION DE INTERVALO: Es un recorrido establecido dentro del cual podemos esperar que esté el parámetro. Estimación de Parámetros

La teoría de muestreo puede emplearse para obtener información acerca de muestras obtenidas aleatoriamente de una población conocida. Sin embargo, desde un punto de vista práctico, suele ser más importante y ser capaz de inferir información acerca de una población a partir de muestras de ellas. Dichos problemas son tratados por la inferencia estadística que utiliza principios de muestreo. Un problema importante de la inferencia estadística es la estimación de parámetros poblacionales o simplemente parámetros (como la media y la varianza poblacionales ), a partir de los estadísticos muéstrales correspondientes o estadísticos ( como la media y la varianza muestral.

Estimados sin Sesgo Si la media de la distribución muestral de un estadístico es igual al parámetro poblacional correspondiente, el estadístico se denomina estimador sin sesgo del parámetro; de otra manera, es denominado estimador sesgado. Los valores correspondientes de dichos estadísticos se llaman estimados sin sesgo o sesgados, respectivamente.

1.- La media de la distribución muestral de las medias es x , la media poblacional. Por lo tanto, la media muestral x es un estimado sin sesgo de la media poblacional .

2.- La media de la distribución muestral de las varianzas es:

s2 = ( N-1/ N ) 2

donde 2 es la varianza poblacional y N es el tamaño de la muestra .Entonces, la varianza muestral s2 es un estimado sesgado de la varianza poblacional 2. Usando la varianza modificada.

2 =( N/ N-1 )s2

Se encuentra que 2 = 2 , de modo que 2 es un estimado sin sesgo de 2 .Sin embargo es un estimado de .En términos de esperanza matemática se podía decir que un estadístico no está sesgado si su esperanza es igual al parámetro poblacional correspondiente. Por lo tanto, x y 2 no están sesgados, porque E

Estimados Eficientes Si las distribuciones muéstrales de dos estadísticos tienen la misma media o esperanza matemática entonces el estadístico con la menor varianza se denomina estimador eficiente de la media, mientras que el otro estadístico se le llama estimador ineficiente. Los valores correspondientes de los estadísticos se conocen, respectivamente , como estimadores eficientes. Si se consideran todos los estadísticos posibles, cuyas distribuciones muéstrales tienen la misma media, aquel con la menor varianza suele denominarse el mejor o más eficiente estimador de dicha media. La distribución muestral de la media y la mediana tienen la misma media; a saber la media poblacional. Sin embargo, la varianza de la distribución muestral de las medias es más pequeña que la varianza de la distribución muestral de las medianas . por lo tanto, la media muestral ofrece un estimado ineficiente de esta De todos los estadísticos que estiman la media poblacional, la media muestral ofrece el mejor o mas eficiente estimado. En la practica , suelen usarse los estimados ineficientes debido a la relativa facilidad con que se obtienen algunos de ellos.

Estimados por Punto y Estimados por Intervalo; su Confiabilidad

El estimado de un parámetro poblacional dado por un solo numero se denomina estimado puntual del parámetro. El estimado de un parámetro poblacional dado por dos números , entre los cuales se considera esta el parámetro, se denomina estimado por intervalo del parámetro. Los estimados por intervalo indican la precisión de un estimado y son, por lo tanto preferibles a los estimados por punto.

Ejemplo: Si se dice que una distancia medida es de 5.28 metros se esta dando un estimado por punto. Si por otro lado, la distancia es de 5.28 mas menos 0.03metros ( es decir , la distancia esta entre 5.25m y 5.31 m ) , se esta dando un estimado por intervalo . La información sobre el error o precisión de un estimado se conoce como confiabilidad. Estimados por Intervalo de Confianza de Parámetros Poblacionales

Sean s y s la media y la desviación estándar ( error estándar ), en ese orden, de la distribución muestral de un estadístico S. Entonces, si la distribución muestral de S es en formas aproximadas a la normal ( lo cual es verdadero para muchos estadísticos si el tamaño de la muestra es N mayor o menor que 30.

Intervalos de Confianza para Medias

Si el estadístico S es la media muestral x , entonces los limites de confianza de 95% y 99% para estimar la media poblacional están dados por x mas menos 1.96 x y 2.50 x respectivamente. De manera mas general , los limites de confianza están dados por x ± zc x donde zc que depende del nivel particular de confianza deseado , usando los valores de x obtenidos se ve que los limites de confianza para la media poblacional están dados por :

X ± Zc /

si el muestreo se lleva a cabo a partir de una población infinita o de una población finita con reemplazamiento y están dados por :

X ± Zc /

si el muestreo se realizo sin reempalzamiento de una población de tamaño finito Np . generalmente , la desviación estándar poblacional es desconocida ; por consiguiente , para obtener los limites de confianza anteriores, se utiliza la estimación muestral o s .Esta mostrara ser satisfactoria cuando N¬ se mayor o menor que 30 para N menor que 30 , la aproximación es pobre y se debe usar la teoría de pequeñas muestras .

Intervalos de Confianza para Proporciones

Si el estadístico S es la proporción de “éxitos “ en una muestra de tamaño , obtenida de una población binomial en la que p es la proporción de éxitos es decir la probabilidad de éxito, entonces los limites de confianza para p están dados por la proporción de éxitos en la muestra de tamaño N. Usando los valores de p obtenidos, ve que los limites de confianza para la proporción poblacional están dados por : P ± Zc Si el muestreo se efectuó de una población finita o de una población infinita con reemplazamiento y están

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