Taller Matemáticas Avanzadas

Taller N° 1 de la Materia: Modelado y Simulación I.

Supóngase que se tiene la siguiente descripción sobre la realidad: una barra homogénea delgada tiene temperatura inicial igual a x. considere que en los extremo x=0, x=π se les conecta los flujos térmicos igual a 1 y 2πt+1 respectivamente. Además en la superficie lateral se realiza un intercambio térmico de acuerdo a la ley de Newton; la temperatura del medio externo es igual a cero; existe una fuente de densidad igual

x^2 (1-6t)-2(t+3x)+sen2x

Defina la(s) variables del problema.

Temperatura

Tiempo

Distancia (Posición de una partícula en la barra)

b. Cuál(es) variable(s) considera que son independientes, cuáles son los parámetros que intervienen en la descripción de la situación.

Las variables que pueden ser consideradas independientes son la posición x y el tiempo t.

Los parámetros que intervienen en el problema son:

a^2=k⁄〖ρc〗_p = Difusividad Térmica

k= conductividad térmica

c_p= Calor Específico

ρ= Densidad del Material

r ó λ = Coeficiente de Transferencia de Calor

c. Construya un MM para describir la situación. Encontrar la temperatura en el punto x=π/2.

Se considera un elemento con sección transversal uniforme orientada de modo que el eje x contiene el eje de la barra, sus extremos están dados por x=0 y x=π.

Se supone que la temperatura permanece constante sobre cualquier sección transversal de la barra

a). La cantidad de calor que acumula el cuerpo es Q=cm∆t=cρ∆t. Donde c es el calor especifico, m la masa del cuerpo, ρ su densidad y V el volumen.

Si la variación de temperatura tiene una magnitud diferente en distintas partes de la barra, entonces:

∫_(x_0)^(∆x+x_0)▒cρ∆Tdx

Para nuestro caso en la barra hay una fuente, la emisión de calor se puede caracterizar por la densidad de las fuentes térmicas F(x,t). Como resultado de estas fuentes para el intervalo (x_0,x_0+∆x) y durante un intervalo de tiempo se emite una cantidad de calor igual a:

Q=A∫_t1^t2▒∫_(x_1)^(x_2)▒F(x,t)dxdt

Se considera la difusividad como a^2=k/cρ. Aplicando el teorema de valor medio entonces se tiene

u_t-a^2 u_xx=F(x,t)

Para el caso de interés es necesario resolver el problema de valor inicial con condiciones en la frontera siguiente:

Ecuación Diferencial parcial: u_t-a^2 u_xx=1/cρ F(x,t)

Donde:

F(x,t)=f(x,t)+r[θ(x,t)-u(x,t)], con θ(x,t)=0

d. Escriba un esquema en diferencias finitas implícito.

Aplicando la aproximación en diferencias finitas como método implícito para la ecuación obtenida anteriormente se tiene:

Finalmente resulta el esquema en diferencias finitas implícito como:

De aquí se forma un sistema de ecuaciones el cual se plantea como una matriz tri-diagonal donde el vector a hallar contiene las variables de temperatura en el instante de tiempo ‘j’ y el vector conocido del término de la derecha contiene las temperaturas conocidas en el instante de tiempo anterior ‘j-1’.

Los coeficientes de la matriz tridiagonal son:

, y

Donde el vector conocido en la parte derecha de la igualdad es:

e. Describa el método de Galerkin para hallar la solución del problema.

Método de Galerkin

Para Galerkin reemplazamos

Factorizando los coeficientes ai queda la expresión:

a_i (t)*[(c^2 [N_i^' (x)*N_j (x)])_0^π-∫_0^π▒〖(c^2 [N_i^' (x)*N_j^' (x)]dx)-∫_0^π▒(r[N_i (x)*N_j (x)]dx) 〗]-a_i^' (t)*∫_0^π▒([N_i (x)*N_j (x)]dx) =-∫_0^π▒([f(x,t)*N_i (x)]dx)

γ_i^j=[(c^2*N_i^' (x)*N_j (x))_0^π-∫_0^π▒〖(c^2 N_i^' (x)*N_j^' (x)*dx) -∫_0^π▒(r[N_i (x)*N_j (x)]dx) 〗]

δ_i^j=-∫_0^π▒(N_i (x)*N_j (x)*dx)

φ_i=-∫_0^π▒([f(x,t)*N_i (x)]dx)

γ_i^j*a_i (t)+δ_i^j*a_i^' (t)=φ_i

Expresando en forma matricial:

(■(γ_1^1&⋯&γ_1^m@⋮&⋱&⋮@γ_n^1&⋯&γ_n^m ))*[■(a_1 (t)@⋮@a_m (t))]+(■(δ_1^1&⋯&δ_1^m@⋮&⋱&⋮@δ_n^1&⋯&δ_n^m ))*[■(〖a_1〗^' (t)@⋮@〖a_m〗^' (t))]=[■(φ_1@⋮@φ_m )]

F. Encontrar una solución aproximada de la EDP usando matlab; ecuaciones en diferencias finitas y el método FEM.

Las gráficas a continuación mostradas exhiben una solución aproximada al problema encontrada haciendo uso del PDE ToolBox de MATLAB.

Sea la EDp

Escribir el esquema de Crank-Nicholson

Partiendo de la definición de primera y segunda derivada

Definición

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