Trabajo 1

TRABAJO 1

Problema 2:

Se pretende construir un deposito elevado en base a una plancha cuadrada de acero, de “a” por lado. Para ello se procederá a hacer los cortes con gas y la posterior unión de las piezas con soldadura de acero eléctrico. El diseño pide prácticamente un cubo sin la tapa superior. ¿Cuál deberá ser la longitud del lado de los cuadrados cortados, para que nos ofrezca el mayor volumen de agua almacenada?

De acuerdo con la figura, tenemos que el volumen del deposito va a ser igual a:

Si derivamos esta ecuación y la igualamos a cero, encontraremos el valor de X para que el volumen sea máximo:

Utilizando la fórmula general, obtenemos que X es igual a:

Obviamente, el valor de X que produce el volumen máximo es X2, por lo que:

X VOLUMEN

A/9 0,067a

A/8 0,070a

A/7 0,072a

A/6 0,074a

A/5 0,072a

A/4 0,063a

A/3 0,037a

A/2 0

De acuerdo con la grafica se observa claramente que el valor máximo del volumen se da cuando la X vale a/6, comprobando así el resultado analítico.

Problema 4:

Se requiere construir un canal de riego, de sección rectangular. La longitud de su perímetro mojado es 64 cm. Cuál es la profundidad de dicho canal para que pueda conducir la mayor cantidad de agua?

De acuerdo con la grafica se observa, claramente, que el perímetro mojado del canal es igual a:

Y sabiendo que el caudal de un canal es igual a la velocidad del agua por el área del mismo, se va a optimizar el valor del área.

Reemplazando en la ecuación del área:

Derivando el área con respecto a X, tenemos que:

64 = 4X

Luego el valor que produce el área máxima, y por ende el caudal máximo es:

X = 16 cm

A = 512 cm²

X ÁREA

14 504

15 510

16 512

17 510

18 504

De acuerdo con la grafica se observa claramente que el valor máximo del área se da cuando la X vale 16 cm, comprobando así el resultado analítico.

Problema 1 de aplicación:

En la construcción de un parque, se realizó un pedido (como primer suministro) de 500 m de guarnición de piedra labrada para la construcción de dos plazas dentro de él.

Debido a un cambio en el proyecto, en el parque se canceló el resto del pedido de la guarnición, de tal manera que se tendrá que construir una plaza o ambas, con la condicionante de que el área cubierta por ellas sea la máxima posible.

El área y perímetro de cada figura son:

Cuadrado:

Aci = L²

Pci = 4L

Círculo:

Acu = πr²

Pcu = 2 πr

Este problema se va a tratar en tres partes, en la primera se tomarán ambas figuras y en las otras dos cada una por separado, y la mayor área de las tres es el total que debe tener la plaza.

a. Tomando ambas figuras se obtiene que:

P = 4L + 2 πr = 500

A = L² + πr²

Derivando el área con respecto al lado del cuadrado se obtiene que:

2L(π + 4) = 1000

L = 70 m

r = 35 m

Acu = 4900 m²

Aci = 3851,5 m²

A = 8751,5 m²

b. Ahora tomando únicamente el cuadrado:

P = 4L = 500

L = 125

Acu = 15625 m²

A = 15625 m²

c. Tomando únicamente el círculo:

P = 2 πr = 500

r = 79,58 m

Aci = 19894,37 m²

A

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