Un Triangulo

Un triángulo, en geometría, es un polígono determinado por tres segmentos que se cortan dos a dos en tres puntos (que no se encuentran alineados, es decir: no colineales). Los puntos de intersección de las rectas son los vértices y los segmentos de recta determinados son los lados del triángulo. Dos lados contiguos forman uno de los ángulos interiores del triángulo.

TRIÁNGULO es un polígono de tres LADOS, que viene determinado por tres puntos no colineales llamados VÉRTICES.

El triángulo es un polígono de tres lados. El triángulo está determinado por tres segmentos de recta que se denominan lados, o por tres puntos no alineados llamados vértices

Los lados de un triángulo se escriben en minúscula, con las mismas letras de los vértices opuestos.

Los vértices de un triángulo se escriben con letras mayúsculas.

Los ángulos de un triángulo se escriben igual que los vértices.

Clasificación de los triángulos

Los triángulos se pueden clasificar por la relación entre las longitudes de sus lados o por la amplitud de sus ángulos.

Por las longitudes de sus lados

Por las longitudes de sus lados, todo triángulo se clasifica:

• Como triángulo equilátero, cuando los tres lados del triángulo son del mismo tamaño (los tres ángulos internos miden 60 grados ó radianes.)

• Como triángulo isósceles (del griego ἴσος "igual" y σκέλη "piernas", es decir, "con dos piernas iguales"), si tiene dos lados de la misma longitud. Los ángulos que se oponen a estos lados tienen la misma medida. (Tales de Mileto, filósofo griego, demostró que un triángulo isósceles tiene dos ángulos iguales, estableciendo así una relación entre longitudes y ángulos; a lados iguales, ángulos iguales1 ).

• Como triángulo escaleno (del griego σκαληνός "desigual"), si todos sus lados tienen longitudes diferentes (en un triángulo escaleno no hay dos ángulos que tengan la misma medida).

Equilátero Isósceles Escaleno

Por la amplitud de sus ángulos

Por la amplitud de sus ángulos los triángulos se clasifican en:

(Clasificación por amplitud de sus ángulos)

Triángulos Rectángulos

Oblicuángulos Obtusángulos

Acutángulos

• Triángulo rectángulo: si tiene un ángulo interior recto (90°). A los dos lados que conforman el ángulo recto se les denomina catetos y al otro lado hipotenusa.

• Triángulo oblicuángulo: cuando ninguno de sus ángulos interiores son rectos (90°). Por ello, los triángulos obtusángulos y acutángulos son oblicuángulos.

• Triángulo obtusángulo: si uno de sus ángulos interiores es obtuso (mayor de 90°); los otros dos son agudos (menores de 90°).

• Triángulo acutángulo: cuando sus tres ángulos interiores son menores de 90°.

Rectángulo Obtusángulo Acutángulo

Oblicuángulos

Clasificación según los lados y los ángulos

Los triángulos acutángulos pueden ser:

• Triángulo acutángulo isósceles: con todos los ángulos agudos, siendo dos iguales, y el otro distinto. Este triángulo es simétrico respecto de su altura.

• Triángulo acutángulo escaleno: con todos sus ángulos agudos y todos diferentes, no tiene eje de simetría.

• Triángulo acutángulo equilátero: sus tres lados y sus tres ángulos son iguales; las tres alturas son ejes de simetría (dividen al triángulo en dos triángulos iguales).

Los triángulos rectángulos pueden ser:

• Triángulo rectángulo isósceles: con un ángulo recto y dos agudos iguales (de 45° cada uno), dos lados son iguales y el otro diferente: los lados iguales son los catetos y el diferente es la hipotenusa. Es simétrico respecto a la altura de la hipotenusa, que pasa por el ángulo recto.

• Triángulo rectángulo escaleno: tiene un ángulo recto, y todos sus lados y ángulos son diferentes.

Los triángulos obtusángulos pueden ser:

• Triángulo obtusángulo isósceles: tiene un ángulo obtuso, y dos lados iguales que son los que forman el ángulo obtuso; el otro lado es mayor que éstos dos.

• Triángulo obtusángulo escaleno: tiene un ángulo obtuso y todos sus lados son diferentes.

Triángulo equilátero

isósceles

escaleno

Acutángulo

Rectángulo

Obtusángulo

Clasificación según la calidad del triángulo

La medida de la calidad del triángulo (abreviada como CT) está determinada por el triple producto de las sumas de dos de sus lados menos el tercero, dividido entre el producto de todos sus lados; y se representa mediante la siguiente ecuación:

donde a, b, c son las longitudes de los lados del triángulo

Por lo tanto, si

• CT = 1 es un triángulo equilátero.

• CT = 0 es un triángulo degenerado.

• CT > 0.5 es un triángulo de calidad buena.

En otras palabras, la calidad del triángulo se aproxima a cero cuando la distancia euclidiana de uno de sus lados es cercana a cero o cuando los tres puntos del triángulo tienden a ser colineales.

La calidad de los triángulos tiene muchas aplicaciones en los métodos de Triangulación como es el caso de la Triangulación de Delaunay porque se necesitan generar una serie de puntos en el espacio para que la malla que se genere sea de buena calidad debido a la cantidad de punto que se encuentran bien distribuidos en un espacio de dos dimensiones porque cuando se le asigne un valor o mangnitud a cada punto de la malla la aproximación del triángulo va a tener un error mayor y la solución seria continuar asignanado punto en el espacio de dos dimensiones para que la aproximación ser mejor y el error disminuya.

Triángulos según sus lados

Triángulo equilátero

Tres lados iguales.

Triángulo isósceles

Dos lados iguales.

Triángulo escaleno

Tres lados desiguales.

Triángulos según sus ángulos

Triángulo acutángulo

Tres ángulos agudos

Triángulo rectángulo

Un ángulo recto

El lado mayor es la hipotenusa.

Los lados menores son los catetos.

Triángulo obtusángulo

Un ángulo obtuso.

Los vértices se denotan por letras mayúsculas: A, B y C;

Los lados son los segmentos que unen dos vértices del triángulo y se denotan por la misma letra que el vértice opuesto, pero en minúscula. Es decir:

El lado 'a', es el segmento que une los vértices B y C.

El lado 'b', es el segmento que une los vértices A y C.

El lado 'c', es el segmento que une los vértices A y B.

Se llama ángulo de un triángulo, al ángulo que forman las rectas sobre las que se apoyan dos de sus lados incidentes en un vértice. El ángulo, se denota con la misma letra que el vértice correspondiente.

Propiedad 1:

Un triángulo tiene tres ángulos, cumpliéndose siempre que "la suma de los tres ángulos de un triángulo es 180 grados".

Propiedad 2: (Propiedad Triangular)

Las longitudes de los lados de un triángulo no pueden ser cualesquiera. Para que pueda construirse el triángulo, la longitud de cada lado tiene que ser menor que la suma de los otros dos lados o, lo que es lo mismo: "cada lado debe ser mayor que la diferencia de los otros dos"

Clasificación de triángulos

La clasificación de triángulos se hace atendiendo a dos criterios:

a. Atendiendo a sus lados:

• Escalenos (los tres lados distintos)

• Isósceles (dos lados iguales y otro desigual)

• Equilátero (los tres lados iguales)

b. Atendiendo a sus ángulos:

• Rectángulos (si tiene un ángulo recto)

• Acutángulos (si los tres ángulos son agudos)

• Obtusángulos (si tiene un ángulo obtuso)

Triángulos rectángulos si tienen UN ángulo recto.

Tienes a continuación tres ejemplos de triángulos rectángulos

En un triángulo rectángulo, el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y los lados perpendiculares que forman el ángulo recto se llaman catetos.

Teorema de Pitágoras: Al estudiar el triángulo rectángulo hemos de conocer perfectamente este teorema que nos dice:

En todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrado de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa

Tomemos como ejemplo el de la figura en el que los catetos miden 3 y 4 cm., respectivamente y 5 cm., la hipotenusa.

Con las medidas de los catetos formamos cuadrados

Con la longitud de la hipotenusa formamos otro cuadrado (c):

Si calculas el área del cuadrado formado por el cateto (a): lado al cuadrado obtienes como valor del área:

Si a continuación calculas el cuadrado formado por el cateto (b), el valor de su área vale

El cuadrado formado por la longitud de la hipotenusa tiene un área de

Si sumas las áreas de los cuadrados de los catetos, es decir obtienes el área formada por el cuadrado

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