Una Guia funciones.

FUNCIONES

Dados dos conjuntos A y B. Se dice que f es una función definida en el conjunto A y tomando valores en el conjunto  B  , si a cada elemento de  A se le asigna uno y sólo un elemento de B. Se representa por f : A  → B

[pic 1][pic 2]

[pic 3]

[pic 4][pic 5][pic 6]

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[pic 10][pic 11]

[pic 12]

El conjunto A recibe indistintamente los nombres de conjunto origen, conjunto inicial, dominio de la función, o campo de existencia de la función, y se representa por Dom (f).

Un elemento cualquiera del conjunto A se representa por la letra x, y es la variable independiente de la función.

Cada elemento x de A tiene por imagen, mediante la función f, a un elemento de B que se representa por y ;  y es la variable dependiente. Esto se expresa escribiendo y = f(x). El conjunto B es el conjunto final y los elementos que son imagen de algún elemento de A forman el conjunto imagen (Im(f)) o recorrido de la función (f(A)).

                                [pic 13]

FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL

Sea  f : A  → B una función

Diremos que f es una función de variable real si el conjunto A en que la variable independiente (es decir la  x) toma valores es un subconjunto de los reales (A ⊆ IR)

f Se llama función real de variable real si los valores que toma la función (o sea los valores que toma “y” ó  f(x)) son números reales, es decir B ⊆ IR.

Podemos, entonces, decir que estamos ante una función real de variable real si tanto los valores que toma la “x” como los valores que toma f(x) son ambos números reales.

                                [pic 14]     ;    D ⊆ IR

                                [pic 15]

Para que una función quede correctamente definida es necesario determinar :

• El conjunto inicial o dominio de la función.
• El conjunto final o imagen de la función (El conjunto final o conjunto de llegada a veces recibe el nombre de codominio de la función)
• La regla por la cual se asigna a cada elemento del conjunto origen un solo elemento del conjunto imagen.

Rango o Recorrido de f: es aquel subconjunto del codominio en el cual todos sus elementos son imagen de alguna preimagen del dominio o conjunto de partida.

Para entender mejor la diferencia entre codominio y rango veamos el siguiente ejemplo:

[pic 16]

        Se puede ver que para todo elemento de A existe sólo una imagen en B.

        Luego para la función f denotada:

        Dominio = A = {a, b, c, d, e}                Codominio = B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

        Rango o Recorrido  = {1, 2, 3, 4, 7}

        Los elementos {5 , 6} no son imagen de ningún elemento de A, luego no pertenecen al Rango de f.

PROPIEDADES DE UNA FUNCIÓN:

a)        Función Inyectiva: Una función de A en B se llama inyectiva (o una inyección) si está definida de tal manera que a elementos distintos del dominio A le corresponden imágenes distintas en el codominio B.

b)        Función Epiyectiva: Una epiyección o sobreyección de A en B es toda función f de A en B, en que todo elemento del codominio B es imagen de al menos un elemento del dominio A. Es decir, todos los elementos de B son imagen de algún elemento de A, también se dice que una función f es sobreyectiva si f(A) = B.

c)        Función Biyectiva: Una función f de A en B es biyectiva si la función f es tanto inyectiva como epiyectiva a la vez.

ALGUNAS FUNCIONES IMPORTANTES

1)        Función de primer grado o función lineal.

[pic 17]        Es la función cuya gráfica corresponde a una recta de pendiente “m” y corta al eje Y en el punto de ordenada “n”

[pic 18]

f(x) = 3x – 5[pic 19]

Es una recta cuya pendiente

m = 3  y  que como n =– 5

debe cortar al eje Y en – 5

Gráfica de una función lineal

La función  Y = mx +n  normalmente la encontraremos expresada en la forma de igualdad, tal como la conocimos en 2° año Medio : ax + by = c ,  (como una ecuación de primer grado con 2 incógnitas ) donde a, b, c  ∈  R , representa una línea recta cuyas soluciones son pares ordenados de la forma (x, y). Este par ordenado (x, y) corresponde a un punto del plano cartesiano.

Ejemplo : la ecuación  L :  x + y = 4[pic 20]

La expresamos como una función despejando la “y”

y = - x + 4

Tabla de valores                                           Gráfico

[pic 21]

Se denomina pendiente “m” de una recta a la  inclinación “α” que tiene la recta con respecto del eje de las abscisas (eje x)

                m = [pic 22]

Puntos de intersección de una recta con los ejes coordenados

[pic 23]

Según la gráfica que se muestra a continuación, los puntos donde la recta L corta al eje x son de la forma (x, 0) y donde corta al eje y , de la forma (0, y).

Ejemplo :

Hallar la intersección de la recta  3x – 4y = 12 con los ejes coordenados:

[pic 24][pic 25][pic 26]

• Intersección con el eje x : se hace  y = 0

Resulta:        3x = 12

de donde :      x =  4

Así la recta corta al eje x en el punto (4, 0)

• Intersección con el eje y : se hace  x = 0

Resulta:        –4y = 12

de donde :        y = –3

Así la recta corta al eje y en el punto (0, –3)

1)        ¿Cuál es la pendiente de la recta de ecuación   4x – 6y = 3?

A) [pic 27]

B) [pic 28]

C)   [pic 29]

D)   [pic 30]

E)   2

2)        La recta 3x + y – 6 = 0  corta al eje  x en :

A)   (0, 2)

B)   (2, 0)

C)   (– 2, 0)

D)   (2,– 2)

E)   N. A.

3)        En la función de primer grado y = mx – 10, uno de sus puntos tiene coordenadas (5, 5). Entonces el valor de “m” es :

A) – 2

B) – 3

C)   3

D)   5

E)   2

4)        Los puntos (4 ,1)  y  (4, 0)  pertenecen a una recta. De esta recta se puede afirmar :

I)        Es perpendicular al eje X

II)        Su ecuación es  y = 4

III)        No es una función

A)   Sólo I

B)   Sólo I y II

C)   Sólo I y III

D)   Sólo II y III

E)   I, II y III

5)        La recta L tiene ecuación y = [pic 31], entonces la recta perpendicular a L, y que corta al eje Y en el punto de ordenada – 3 tiene ecuación :

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