Combinaciones Generalizadas

Combinaciones Generalizadas.

Teorema:
Supóngase que una sucesión S de n objetos tiene n1 objetos idénticos del tipo 1, n2 objetos idénticos del tipo 2, . . . , nt objetos idénticos del tipo t. Entonces el número de ordenaciones de S es:

[pic 1]

Demostración:
Se asignan las posiciones de cada uno de los n objetos para crear un orden de S. Es posible asignar las posiciones de los n1 objetos del tipo 1 en C(n, n1) formas. Una vez realizada estas asignación, pueden asignarse las posiciones de los n2 objetos del tipo 2 en C(n - n1, n2) maneras, etc. Por lo tanto

[pic 2]

Ejemplos:

a) De cuántos modos se pueden repartir ocho libros distintos entre tres estudiantes si Guillermo recibe cuatro libros, en tanto que María y Silvia reciben 2 cada una.

Sea G = Guillermo, S = Sofía y M = María.

Unos ejemplos de ordenación serian GGGGSSMM, GGGSMGMS, MMSSGGGG, etc.

Cada uno de estos ordenamientos determina una distribución de libros. Por lo que existen [pic 3] maneras de repartir los libros.

b) ¿De cuantas maneras pueden formarse tres comités distintos de un grupo de 20 personas, si los comités deben tener 3, 5 y 7 personas respectivamente?

La respuesta es [pic 4]

C) Una partida de Bridge es una partición ordenada de 52 cartas que comprende 4 conjuntos de 13 cartas cada uno. Por lo tanto hay [pic 5] partidas de Bridge.

d) ¿De cuántas maneras posibles pueden distribuirse 12 estudiantes en 3 grupos, con 4 estudiantes cada grupo, de manera que un grupo estudie un tema, el otro un tema diferente y el tercero otro diferente a los dos anteriores?

En total hay [pic 6] posibles maneras de distribuir a los estudiantes.

e) ¿De cuántas maneras pueden distribuirse 19 estudiantes en 5 grupos, 2 grupos de 5 y 3 grupos de 3, de manera que cada grupo estudie un tema distinto?

En total hay [pic 7] posibles maneras de distribuir a los estudiantes.

f) ¿De cuantas formas es posible hacer una partición de un conjunto de 100 elementos en 50 conjuntos diferentes de 2 elementos cada uno?

La respuesta es [pic 8]formas posibles.

De forma más general puede enunciarse el mismo problema de la siguiente manera ¿De cuántas formas es posible hacer una partición de un conjunto con 2n elementos en n conjuntos de 2 elementos cada uno?

Entonces la respuesta es [pic 9]formas posibles.

Teorema:
Si X es un conjunto que contiene n elementos, entonces el número de selecciones de r elementos, no ordenadas, con repeticiones permitidas y tomando del conjunto X es:

[pic 10]

NOTA:
Es posible que r sea mayor que n cuando se permiten repeticiones.

Ejemplos:
a) Supóngase que se tienen 3 pilas de pelotas rojas, azules y verdes y cada una contiene al menos 8 pelotas.
i) ¿De cuántos modos se pueden seleccionar 8 pelotas?
ii) ¿De cuántas maneras de pueden seleccionar 8 pelotas si se debe tener al menos una de cada color?

Por el Teorema anterior, el número de formas para elegir 8 pelotas es[pic 11].

También se puede aplicar el Teorema para resolver la parte ii). Si se selecciona una pelota de cada color. Para completar la elección, deben escogerse 5 pelotas más. Esto se puede hacer de [pic 12] formas diferentes.

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