COMBINACIONES

COMBINACIONES página 29

TEMA 2

COMBINACIONES

DEFINICIÓN: Dados n elementos, el número de conjuntos que se pueden formar con ellos, tomados

de r en r , se llaman combinaciones.

Por ejemplo, sean cuatro elementos {a,b,c,d} . Los conjuntos, tomados de tres en tres, que se pueden

formar con esos cuatro elementos son:

{a,b,c} , {a,b,d} , {a,c,d} y {b,c,d}

es decir, en total hay 4 conjuntos diferentes formados con tres elementos. Se dice entonces que existen 4

combinaciones posibles.

Es importante notar la diferencia que existe entre una permutación y una combinación. En la permutación

lo que importa es el lugar que ocupa cada elemento, mientras que en la combinación no, sino

solamente "los integrantes" del conjunto. Hay que recordar que en un conjunto no importa el orden de los

elementos. Por ejemplo, los siguientes conjuntos son iguales por tener los mismos elementos, aunque se

hayan escrito en diferente orden:

{b,c,d} = {c,b,d}

En el estudio matemático de las combinaciones, lo que interesa saber es cuántas son, no cuáles son. A

pesar de eso, en el ejemplo anterior, se enlistaron cuáles son para clarificar la idea de lo que significa

combinaciones.

FÓRMULA

La fórmula general para calcular las combinaciones que se pueden obtener con n elementos, tomados

de r en r , es

página 30 PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA I

( )

!

! ! n r

n

C

r n r

=

−

Ejemplo 1: ¿Cuántos equipos de voleibol se pueden formar a partir de 9 jugadores disponibles?

Solución: Se requieren 6 jugadores para formar un equipo de voleibol, por lo que, en este caso se tiene que

n = 9

r = 6

de manera que

9 6 ( )

9! 84

6! 9 6 !

C = =

−

Ejemplo 2: ¿Cuántas comités de 1 presidente y 3 vocales se pueden formar a partir de un grupo de 8 personas, las

cuales pueden ocupar todas cualquier puesto?

Solución: Se requiere una sola persona, de entre las 8 disponibles, para ocupar el cargo de presidente, y 3 de entre

las siete que restan para ocupar el puesto de vocal. Se trata de un problema de composición, ya que la

combinación total (el comité) se compone a su vez de varias subcombinaciones, por lo que, en este caso

se tiene que

8

presidente

1

p

p

n

r

= ⎫⎪⎬

= ⎪⎭

7

vocales

3

v

v

n

r

= ⎫⎬

= ⎭

de manera que

8 1 7 3 ( ) ( )

8! 7! 280

1! 8 1 ! 3! 7 3 !

C × C = × =

− × −

Hay 280 maneras de formas el comité.

En problemas de composición el resultado final no depende de que se inicie el cálculo con la primera

subcombinación o con otra. En el problema anterior, si en vez de iniciar con las combinaciones posibles

para presidente se comienza con los vocales, se obtiene el mismo resultado. En efecto,

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n = 8

8

vocales

3

v

v

n

r

= ⎫⎬

= ⎭

n = 5

5

presidente

1

p

p

n

r

= ⎫⎪⎬

= ⎪⎭

de manera que

8 3 5 1 ( ) ( )

8! 5! 280

3! 8 3 ! 1! 5 1 !

C × C = × =

− −

Ejemplo 3: Una persona desea invitar a 5 de sus amigos entre un grupo de 8 amistades. ¿De cuántas maneras puede

hacerlo:

a) en total;

b) si las personas A y B no deben ir juntas;

c) si las personas A y B no pueden

...