COMBINACIONES
yolisitoTrabajo4 de Mayo de 2012
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COMBINACIONES página 29
TEMA 2
COMBINACIONES
DEFINICIÓN: Dados n elementos, el número de conjuntos que se pueden formar con ellos, tomados
de r en r , se llaman combinaciones.
Por ejemplo, sean cuatro elementos {a,b,c,d} . Los conjuntos, tomados de tres en tres, que se pueden
formar con esos cuatro elementos son:
{a,b,c} , {a,b,d} , {a,c,d} y {b,c,d}
es decir, en total hay 4 conjuntos diferentes formados con tres elementos. Se dice entonces que existen 4
combinaciones posibles.
Es importante notar la diferencia que existe entre una permutación y una combinación. En la permutación
lo que importa es el lugar que ocupa cada elemento, mientras que en la combinación no, sino
solamente "los integrantes" del conjunto. Hay que recordar que en un conjunto no importa el orden de los
elementos. Por ejemplo, los siguientes conjuntos son iguales por tener los mismos elementos, aunque se
hayan escrito en diferente orden:
{b,c,d} = {c,b,d}
En el estudio matemático de las combinaciones, lo que interesa saber es cuántas son, no cuáles son. A
pesar de eso, en el ejemplo anterior, se enlistaron cuáles son para clarificar la idea de lo que significa
combinaciones.
FÓRMULA
La fórmula general para calcular las combinaciones que se pueden obtener con n elementos, tomados
de r en r , es
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( )
!
! ! n r
n
C
r n r
=
−
Ejemplo 1: ¿Cuántos equipos de voleibol se pueden formar a partir de 9 jugadores disponibles?
Solución: Se requieren 6 jugadores para formar un equipo de voleibol, por lo que, en este caso se tiene que
n = 9
r = 6
de manera que
9 6 ( )
9! 84
6! 9 6 !
C = =
−
Ejemplo 2: ¿Cuántas comités de 1 presidente y 3 vocales se pueden formar a partir de un grupo de 8 personas, las
cuales pueden ocupar todas cualquier puesto?
Solución: Se requiere una sola persona, de entre las 8 disponibles, para ocupar el cargo de presidente, y 3 de entre
las siete que restan para ocupar el puesto de vocal. Se trata de un problema de composición, ya que la
combinación total (el comité) se compone a su vez de varias subcombinaciones, por lo que, en este caso
se tiene que
8
presidente
1
p
p
n
r
= ⎫⎪⎬
= ⎪⎭
7
vocales
3
v
v
n
r
= ⎫⎬
= ⎭
de manera que
8 1 7 3 ( ) ( )
8! 7! 280
1! 8 1 ! 3! 7 3 !
C × C = × =
− × −
Hay 280 maneras de formas el comité.
En problemas de composición el resultado final no depende de que se inicie el cálculo con la primera
subcombinación o con otra. En el problema anterior, si en vez de iniciar con las combinaciones posibles
para presidente se comienza con los vocales, se obtiene el mismo resultado. En efecto,
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n = 8
8
vocales
3
v
v
n
r
= ⎫⎬
= ⎭
n = 5
5
presidente
1
p
p
n
r
= ⎫⎪⎬
= ⎪⎭
de manera que
8 3 5 1 ( ) ( )
8! 5! 280
3! 8 3 ! 1! 5 1 !
C × C = × =
− −
Ejemplo 3: Una persona desea invitar a 5 de sus amigos entre un grupo de 8 amistades. ¿De cuántas maneras puede
hacerlo:
a) en total;
b) si las personas A y B no deben ir juntas;
c) si las personas A y B no pueden ir por separado;
d) si debe estar forzosamente la persona C ?
Solución: a) En este caso, al no estar condicionado, se tiene que
n = 8
r = 5
de manera que 8 5 ( )
8! 56
5! 8 5 !
C = =
−
b) Hay tres opciones: Una, que A no vaya mientras B sí, con lo cual es suficiente para que ambos no
estén juntos; dos, que B no vaya mientras A sí; y tres, que ni A ni B vayan. Conviene entonces
analizar caso por caso.
I.- Cuando A no asiste y B sí: Si B sí asiste, quedan ya solamente 4 personas por invitar para
completar las cinco requeridas, las cuales deben escogerse entre las seis que restan quitando a
A (para garantizar que no asista) y a B (que ya está entre los asistentes).
En este caso n = 6
r = 4
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de manera que 6 4 ( )
6! 15
4! 6 - 4 !
C = =
II.- Cuando A sí asiste y B no: Es exactamente lo mismo que el caso anterior, por lo tanto hay
15 maneras más.
III.- Cuando ni A ni B asisten: Las cinco personas deben escogerse entre las seis restantes,
quitando a A y a B (para garantizar que no asistan):
En este caso n = 6
r = 5
de manera que 6 5 ( )
6! 6
5! 6 - 5 !
C = =
En total resultan 15 + 15 + 6 = 36 formas.
c) Hay dos opciones: Una, que A y B sí asistan; la otra, que ni A ni B vayan. Se analiza entonces caso
por caso.
I.- Cuando A y B sí asisten: Si A y B sí asisten quedan ya solamente 3 personas por invitar para
completar las cinco requeridas, las cuales deben escogerse entre las seis que restan quitando a
A y a B que ya están entre los asistentes:
En este caso n = 6
r = 3
de manera que 6 3 ( )
6! 20
3! 6 - 3 !
C = =
II.- Cuando ni A ni B asisten: Las cinco personas deben escogerse entre las seis restantes,
quitando a A y a B (para garantizar que no asistan):
En este caso n = 6
r = 5
de manera que 6 5 ( )
6! 6
5! 6 - 5 !
C = =
En total resultan 20 + 6 = 26 formas.
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d) Si C asiste, quedan ya solamente 4 personas por invitar para completar las cinco requeridas, las
cuales deben escogerse entre las siete que restan.
En este caso n = 7
r = 4
de manera que 7 4 ( )
7! 35
4! 7 - 4 !
C = =
Ejemplo 4: Un grupo escolar consta de 16 alumnos. Es necesario formar simultáneamente 3 equipos con ellos, uno
de 5 alumnos para ir a la Cruz Roja, otro de 3 alumnos para visitar el Hospital y el tercero de 2 alumnos
para ir al Banco. ¿De cuántas maneras se pueden distribuir?
Solución: El primer equipo de 5 alumnos se puede seleccionar de entre los 16 que hay en el grupo escolar; una
vez formado ese primer equipo, quedan solamente 11 alumnos de entre los cuales debe integrarse el
segundo equipo con tres de ellos; una vez formado ese segundo equipo, quedan solamente 8 alumnos
de entre los cuales debe integrarse el tercer equipo con dos de ellos
De manera que 16 5 11 3 8 2 C × C × C = 4368 ×165 × 28 = 20 180 160
Nótese que se trata de un problema de composición. A parte de la mostrada, ¿de cuántas otras maneras
se puede resolver? Hacerlo de otras dos formas para comprobar que el resultado no se altera.
Ejemplo 5: Se reparten cinco cartas de una baraja corriente a un jugador.
¿De cuántas maneras le puede caer:
a) un par;
b) dos pares;
c) una tercia;
d) una corrida o escalera;
e) una flor;
f) un full;
g) un póquer;
h) una flor imperial;
i) "pancha"?
NOTA: La baraja está formada como se muestra en la
figura 10. Vistas en sentido vertical se llaman figuras o
palos; vistas en sentido horizontal se llaman valores. Cada
figura o palo consta de 13 valores, comenzando con el As
y terminando con el Rey . O sea que en total hay 13 × 4 =
= 52 cartas.
figura 10
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Las diferentes combinaciones que se pueden realizar con ellas se llaman juegos . Para que una combinación
sea realmente un juego no debe tener intersecciones con otro juego ni ser un subconjunto de
otro.
Para efectos simplemente de comprensión de las soluciones propuestas es conveniente introducir una
definición de cada uno de los juegos mencionados, en virtud de que suele suceder que cada jugador de
baraja acostumbra tener sus propias reglas o sus propias definiciones de cada juego, asegurando cada
uno que se juega como él lo sabe hacer. Debe quedar claro entonces que las siguientes definiciones se
aceptan rigurosamente para efectos de los cálculos que se explicarán en este curso, no como definiciones
universales del juego de la baraja, pues eso abriría la puerta a la polémica.
UN PAR: Cuando se tienen 2 cartas del mismo valor y las otras 3 diferentes entre sí y diferentes al
par.
DOS PARES: Cuando se tienen 2 cartas del mismo valor y diferentes a todas las demás, otras 2 del
mismo valor y diferentes a las demás y la quinta carta diferente a las demás.
TERCIA: Cuando se tienen 3 cartas del mismo valor y las otras 2 diferentes entre sí y diferentes a
las de la tercia.
CORRIDA O ESCALERA: Cuando se tienen 5 cartas de valores consecutivos, a condición de que
no sean las 5 del mismo palo.
FLOR: Cuando se tienen las 5 cartas del mismo palo o figura, a condición
...