EJEMPLO de Diferencia de cuadrados perfectos

DIFERENCIA DE CUADRADOS / EJERCICIOS RESUELTOS

EJEMPLO 1: (Fácil)

x2 - 9 = (x + 3).(x - 3)

x     3

Los dos términos son cuadrados. Las "bases" son x y 3. Se factoriza multiplicando la "suma de las bases" por la "resta de las bases".

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1

EJEMPLO 2: (Con dos letras)

x2 - y2 = (x + y).(x - y)

x     y

Las dos bases son letras

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 2

EJEMPLO 3: (Con el "1")

b2 - 1 = (b + 1).(b - 1)

b     1

No hay que olvidar que el número 1 es un cuadrado.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 3

EJEMPLO 4: (Con fracciones)

x2 - 9/25 = (x + 3/5).(x - 3/5)

x      3/5

9/25 es cuadrado. Porque 9 es cuadrado (de 3), y 25 también (de 5)

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 4

EJEMPLO 5: (Con potencias distintas de 2)

x6 - 4 = (x3 + 2).(x3 - 2)

x3   2

x6 es también un cuadrado, es el cuadrado de x3. Ya que (x3)2 es igual a x6

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 5

EJEMPLO 6: (Con términos "compuestos")

36x2 - a6b4 = (6x + a3b2).(6x - a3b2)

6x       a3b2

Los términos pueden estar compuestos por varios factores, y no una sola letra o número. Pero todos deben ser cuadrados.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 6

EJEMPLO 7: (Con números decimales)

x2 - 0,16 = (x + 0,4).(x - 0,4)

x     0,4

También se puede hacer pasando los números decimales a fracción (Ver en la EXPLICACIÓN)

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 7

EJEMPLO 8: (Con la resta "al revés")

-x2 + 4 = 4 - x2 = (2 + x).(2 - x)

x       2

El primer término es negativo y el segundo es positivo. Pero puedo escribirlos "al revés", y ahí tengo la resta que necesito.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 8

EJEMPLO 9: (Uno "con todo")

4/25 x6a2 - 0,01 b4y10 = (2/5 x3a + 0,1 b2y5).(2/5 x3a - 0,1 b2y5)

2/5 x3a       0,1 b2y5

Fracciones, decimales, potencias distintas de dos, varias letras...

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 9

PARA AVANZADOS: (Raramente se ve en Nivel Medio)

EJEMPLO 10: (Con números que no son cuadrados)

x2 - 3 = (x + ).(x - )

x    

El número 3 no es cuadrado de un número entero ni racional.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 10

CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS

SOBRE EL QUINTO CASO: DIFERENCIA DE CUADRADOS

¿Por qué se llama "Diferencia de Cuadrados"?

"Diferencia" se le dice a la resta (¿por qué?). Entonces, "Diferencia de Cuadrados" hace referencia a una "Resta de cuadrados". Más precisamente, una resta de dos cuadrados. Es decir, "dos cuadrados que están restándose".

Por ejemplo, en x2 - 4, tenemos al cuadrado x2 que está restando con el cuadrado 4. Es un polinomio de dos términos que se están restando, y ambos son "cuadrados".

(¿qué es un cuadrado?)

¿Cómo me doy cuenta de que puedo aplicar este Caso en un polinomio?

1) El polinomio tiene que tener 2 términos.

2) Los términos tienen que estar restándose. Por ejemplo: x2 - 1. Pero también pueden estar al revés, por ejemplo: -9 + a6. Ya que es lo mismo que a6 - 9. Es decir que debo ver que haya un término positivo y otro negativo, no importa el orden.

3) Los dos términos tienen que ser "cuadrados" (¿qué es un cuadrado?). Para reconocer que un término es cuadrado, aplicamos todo lo que aprendimos al respecto en el Tercer Caso: Trinomio Cuadrado Perfecto. En la próxima pregunta hago un resumen de las posibilidades a la hora de identificar un "cuadrado".

¿Cómo reconozco si un término es un "cuadrado"?

Recordemos que son cuadrados:

1) Los números enteros que tienen raíz cuadrada exacta (¿"raíz exacta"?). Por ejemplo: 4, 9, 16, 1, 25, 36, 64, 100, etc. En particular, recordar que el número 1 es un cuadrado.

Y los número decimales cuya raíz cuadrada dé un número decimal exacto. Es decir, que al calcular su raíz en la calculadora, no se llene ésta de cifras decimales (¿que quiere decir esto?). Ejemplos de decimales que son cuadrados: 0,09; 0,01; 0,0001; 0,25; 0,64; 1,44; 0,0256; etc.

2) Las letras elevadas a un exponente par. Por ejemplo: x2, x4, x6, x8, x10, etc.

3) Las fracciones cuyo numerador y denominador son ambos "cuadrados". Es decir, que el número de arriba tiene raíz exacta, y el de abajo también. Por ejemplo: 4/9 , 25/64, 1/4, 49/100, etc.

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