El Problema del Transporte, Transbordo y Asignación

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1. El Problema del Transporte

Introducción

El modelo de transporte consiste en determinar un plan de costos mínimos para transportar productos de sitios de origen fuentes a sitios de destino, con restricciones de oferta en los orígenes y se debe satisfacer la demanda de los destinos. Teóricamente hace uso del método simplex, presentado con diferentes matices o algoritmos cuyo objetivo es mejorar la solución inicial hasta obtener la óptima. Se utilizan variadas técnicas para resolver un modelo de transporte, entre las cuales podemos mencionar: La del Costo Mínimo, regla de la esquina noroeste, aproximación de Vogel, el del cruce del arroyo (Por las piedritas…), etc. A continuación se explica el procedimiento con un ejemplo, dando la solución mediante el programa WIN QSB, con el fin de comprobar que la operatividad es correcta.

Modelo^[1]

Dados m orígenes o fábricas y  n destinos o centros de distribución   , se requiere cubrir la demanda de tal forma que el costo de transportar las mercancías sea mínimo.[pic 2][pic 3]

:        Número de unidades distribuidas del origen i al destino j[pic 4]

        Contribución a la función objetivo al distribuir una unidad del origen i al destino j [pic 5]

        Número de unidades disponibles en el origen i[pic 6]

        Número de unidades de demanda en el destino j[pic 7]

        Número de orígenes[pic 8]

        Número de destinos[pic 9]

Si  representa la cantidad transportada desde el i-ésimo origen hasta j-ésimo destino, entonces el modelo general de Programación Lineal que representa el modelo de transporte es: [pic 10]

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Sujeto a

  Restricciones de oferta[pic 12]

 Restricciones de demanda[pic 13]

Con , para toda i y toda j[pic 14]

En el modelo está implícito el equilibrio entre la oferta y la demanda, es decir, todo lo que sale llega a los destinos presupuestados, matemáticamente se dice que un problema de transporte tiene soluciones factibles si y sólo si

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La figura representa la estructura generalizada del modelo, representado por nodos (fuentes y destinos), donde el arco que une un origen y un destino representa la ruta por la cual se transporta la mercancía y el costo de transporte unitario entre el origen y el destino respectivo, está dado por  .[pic 16]

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Las variables de decisión se notan con doble subíndice, el primero indica el origen y el segundo el destino, así cualquier término

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Ejemplo 1 Modelo de Transporte^[2]

Una compañía de transporte posee un contrato para transportar electrodomésticos desde 3 plantas hacia 4 centros de distribución  cuyos costos unitarios, ofertas y demandas se registran en la siguiente tabla matriz:

Paso 1 Tabla

La Tabla de datos elaborada con WIN-QSB^[3]

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Paso 2 Planteamiento de la función objetivo

En este caso se deben considerar los datos correspondientes a los costos unitarios de cada origen a cada destino y sumar:

++[pic 20][pic 21][pic 22]

Paso 3 Planteamiento de las restricciones de oferta

Cada ciudad de origen ofrece unas cantidades limitadas de productos, de esta manera las restricciones presentan la forma  :[pic 23]

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Paso 4 Planteamiento de las restricciones de demanda

Cada ciudad de destino solicita una cantidad fija de electrodomésticos, por lo tanto las restricciones se presentan como ecuaciones

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Paso 5 Planteamiento del modelo en forma matemática

El planteamiento es similar a los problemas vistos anteriormente  con función objetivo, sujeta a ciertas restricciones. La solución se puede hallar de igual forma con el WINQSB o el SOLVER con el sustento teórico del Método Simplex.

++[pic 31][pic 32][pic 33]

Sujeta a:

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Como se puede apreciar, el problema tiene 12 variables de decisión y 7 restricciones, lo cual implica al aplicar el método simplex, una labor dispendiosa y engorrosa. Por lo tanto se hace uso del método simplex simplificado para el transporte.

En la siguiente tabla se define el problema. En primer lugar el método consiste en hallar una solución factible inicial, que consiste en el mejoramiento de la solución hasta llegar a la solución óptima, para ello se hace uso del método denominado del “Costo mínimo” que consiste en asignar la mayor cantidad de oferta o de demanda en la celda de menor costo, convirtiendo la oferta o la demanda en cero. 

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Ahora se le asigna 150 unidades a la celda x23 y  a continuación 100 a la celda x12, por tener el menor costo, convirtiendo  la oferta de estas casillas en ceros. Las casillas que tienen un costo menor son la x11 y x32, escogemos esta última y le asignamos 10 unidades, porque en la x11, no se puede.

Continuando con el proceso anterior, se puede generar la solución factible inicial

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Se observa que se han agotado todas las ofertas y demandas, hasta convertirlas en ceros. A continuación elaboramos la Tabla de costo total de la solución factible inicial, empleando el método del costo mínimo.

Método del cruce del arroyo y el índice de mejoramiento.

Con este método se realiza un análisis marginal, donde se estudia el efecto producido al cambiar la solución inicial al introducir una unidad de una variable no básica. La pregunta que se hace es: ¿ésta solución inicial es la óptima?

Para responder este interrogante es necesario:

1.  Calcular un valor denominado índice de mejoramiento, realizándolo para cada celda vacía (Variable no básica).
2. Ajustar los valores de las variables básicas actuales con la satisfacción plena de todas las restricciones de oferta y demanda.
3. Calcular el valor de la función objetivo originada en las nuevas cantidades asignadas en las celdas con valores diferentes de cero.

Considerando que se ha determinado que la celda posee el índice de mejoramiento más negativo (-2), se le asignará el mayor número de unidades posibles a esta casilla; lo que indica que el costo total  se puede reducir en dos dólares al enviar una unidad adicional desde Cali a Medellín[pic 44]

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