PROBLEMAS DE TRANSPORTE

5.1 Definicion Del Modelo De Transporte

El modelo de transporte es un problema de optimización de redes donde debe determinarse como hacer llegar los productos desde los puntos de existencia hasta los puntos de demanda, minimizando los costos de envió.

El modelo busca determinar un plan de transporte de una mercancía de varias fuentes a varios destinos. Entre los datos del modelo se cuenta:

1.- Nivel de oferta en cada fuente y la cantidad de demanda en cada destino.

2.- El costo de transporte unitario de la mercancía de cada fuente a cada destino.

El modelo se utiliza para realizar actividades como: control de inventarios, programación del empleo, asignación de personal, flujo de efectivo, programación de niveles de reservas en prensas entre otras.

MÉTODO DE SOLUCIÓN INICIAL

Mediante el uso del método simplex se pueden resolver los modelos de transporte y de cualquier otro tipo de problemas de programación lineal. Sin embargo debido a la estructura especial de modelo de transporte, podemos utilizar otro método que se ha diseñado para aprovechar las características de los problemas de transporte.

Los método de esquina noroeste, costo mínimo y aproximación de Vogel son alternativas para encontrar una solución inicial factible.

Esquina noroeste.

Este método es considera el más fácil. Es también considerado por ser el menos probable para dar una buena solución inicial y de “bajo costo” porque ignora la magnitud relativa de los costos Cij.

Antes de describir el procedimiento, es necesario establecer que el número de variables básicas en cualquier solución básica de un problema de transporte es una menos de la que se espera. Normalmente, en los problemas de programación lineal, se tiene una variable básica para cada restricción. En los problemas de transporte con m recursos y n destinos el número de restricciones funcionales es m + n. Sin embargo,

El número de variables básicas = m + n - 1

Este procedimiento está dado por los siguientes tres pasos:

1.- Seleccionar la celda de la esquina noroeste (esquina superior izquierda) para envío.

2.- Efectuar el más grande envío como pueda en la celda de la esquina noroeste.

Esta operación agotará completamente la disponibilidad de suministros en un origen o los requerimientos de demanda en un destino.

3.- Corrija los números de suministro y los requerimientos para reflejar lo que va quedando de suministro y requerimiento y regresar al paso 1.

5.2 Método De La Esquina Noroeste

El método de la esquina es un método de programación lineal hecho a mano para encontrar una solución inicial factible del modelo, muy conocido por ser el método mas fácil al determinar una solución básica factible inicial, pero al mismo tiempo por ser el menos probable para dar una solución inicial acertada de bajo costo, debido a que ignora la magnitud relativa de los costos. es un proceso utilizado para resolver problemas de transporte o asignación, si bien es un método no exacto tiene la ventaja de poder resolver problemas manualmente y de una forma rápida, muy cercano al valor óptimo. Cada problema debe representarse en forma de matriz en donde las filas normalmente representan las fuentes y las columnas representan los destinos.

Los pasos para solucionar un problema de programación lineal por este método son:

Paso 1. Seleccionar la celda de la esquina noroeste (esquina superior izquierda) para un envío.

Paso 2. Hacer el más grande envío como pueda en la celda de la esquina noroeste. Esta operación agotara completamente la disponibilidad de suministros en un origen a los requerimientos de demanda en un destino.

Paso 3. Corregir los números del suministro y requerimientos para reflejar lo que va quedando de suministro y requerimiento y regrese al paso 1.

Supongamos el siguiente ejemplo:

Ejemplo1: La empresa “químicos del caribe S.A” posee 4 depósitos de azufre que deben ser usados para fabricar 4 tipos de productos diferentes (A, B, C, D), además por cada litro que se haga de los productos A, B, C, y D se utilizan un litro de azufre. Se sabe que las capacidades de cada depósito son de 100L, 120L, 80L, 95L respectivamente. La empresa tiene un pedido de 125L de la sustancia A, 50L de la sustancia B, 130L de la sustancia C y 90L de la sustancia D.

Los costos que reaccionan la producción de cada químico con cada depósito se presenta a continuación:

A B C D

deposito1 2 3 4 6

deposito2 1 5 8 3

deposito3 8 5 1 4

deposito4 4 5 6 3

Tabla1

Formule una solución para este problema de manera que se cumpla el pedido y se minimice los costos:

De acuerdo a las especificaciones del problema podemos completar la tabla de la siguiente manera:

Tabla2

El siguiente paso será seleccionar el número de la esquina más al noroeste:

Tabla3

En este punto se deberá asignar la mayor cantidad de unidades posibles, de manera que no sobrepase la capacidad de químicos en litros de cada depósito y los litros requeridos de cada químico. En este caso se deberá asignar el número 100.

Tabla4

Debido a que el deposito 1 se ha abastecido completamente se llega a una solución: A1=100, (es decir el deposito 1 suministrara 100 litros a la sustancia A), no obstante no es necesario tener en cuenta esa fila. Se procederá ahora a elegir nuestra siguiente esquina:

Nuestra nueva esquina será 1, como lo indica la tabla 5, además los litros requeridos para el deposito A serán 25 esto es porque A1=100, es decir ya se le han encargado 100 litros al depósito 1 y por lo tanto los litros restantes serán 25.

Las unidades para nuestra nueva esquina serán 25. El procedimiento continúa como se hizo anteriormente.

Ahora el deposito 2 contiene 95 litros en total puesto que se le ha restado las 25 unidades de A2. Nuestro nuevo punto esquina será el 5:

La unidad que se tomara será 50:

Ahora que todos los litros requeridos por la sustancia B han sido completados por lo tanto no es necesaria esta columna. Presentaremos nuestra nueva esquina con su respectiva unidad se muestra a continuación:

La columna del depósito 2 ha sido completada por lo tanto no se tendrá en cuenta, el numero 85 resulta de la resta de 130-45. Nuestra nueva esquina con la respectiva unidad se muestra a continuación:

La columna del depósito 3 ha sido completada por tanto ya no se tendrá en cuenta, nuestra nueva esquina con nuestra nueva unidad será:

Nuestra última tabla queda como sigue:

El resultado final para las asignaciones será:

A1: 100 (se le asigna 100 litros al depósito 1 para suministrarle al químico 2).

A2: 25 (se le asigna 25 litros al depósito 2 para suministrarle al químico 2).

B2: 50 (se le asigna 50 litros al depósito 2 para suministrar al químico B)

C2: 45 (se le asigna 45 litros al depósito 2 para suministrar al químico C)

C3:80 (se le asigna 80 litros al depósito 3 para suministrar al químico C)

C4: 5 (se le asigna 5 litros al depósito 4 para suministrar al químico C)

D4: 90 (se le asigna 90 litros al depósito 4 para suministrar al químico D)

En tabla el resultado final será:

A B C D

deposito1 100 0 0 0 100

deposito2 25 50 45 0 120

deposito3 0 0 80 0 80

deposito4 0 0 5 90 95

125 50 130 90

5.3 Método de Aproximación de Vogel

Método de Aproximación de Vogel: para cada renglón y columna que queda bajo consideración, se calcula su diferencia, que se define como la diferencia aritmética entre el costo unitario más pequeño (cij) y el que le sigue, de los que quedan en ese renglón o columna. (Si se tiene un empate para el costo más pequeño de los restantes de un renglón o columna, entonces la diferencia es 0). En el renglón o columna que tiene la mayor diferencia se elige la variable que tiene el menor costo unitario que queda. (Los empates para la mayor de estas diferencias se pueden romper de manera arbitraria).

Para hacer más concreta esta descripción, se ilustrará el procedimiento general, utilizando el método de aproximación de Vogel

para resolver el ejemplo presentado anteriormente y que fue resuelto por la regla de la esquina noroeste:

Iniciamos el método calculando las primeras diferencias para cada renglón y columna. De las diferencias que obtuvimos nos fijamos en la mayor (¿Por qué?), que resulta ser para la tercera columna. En esa columna encontramos el costo unitario (cij) menor y en esa celda realizamos la primera asignación:

Recursos DIF.

5 1

2 2 0 0

3 1

Demanda

3

4

2 0

1 10

10

DIF.

1 1 3 1 2

Nota: Marcaremos a la mayor de las diferencias seleccionada encerrándola en un círculo y escribiéndole como superíndice

...