Enseñanza del Número y las Operaciones. 1er ciclo

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 Cuestiones a responder:

¿A qué campo (aditivo o multiplicativo) corresponde cada uno? ¿Qué significado de la operación permite trabajar?

-Los problemas del punto: 1; 2 y 3 pertenecen al “campo Multiplicativo” (3°grado).

-Los problemas del punto 4y 5 corresponden al “campo Aditivo” (problemas de suma y resta con distintos significados.). 

Estamos frente desafíos de Homogeneidad vs heterogeneidad entre las dos posturas estamos al momento de trabajar con los alumnos: “Presentar múltiples situaciones que permitan reflexionar acerca de la diversidad de significados de cada operación facilitará la comprensión, por parte de los alumnos, de los alcances y límites de cada una de ellas”. Por ejemplo: En una panadería colocan 120 facturas por bandeja para llevarlas al horno. ¿Cuántas facturas habrá en 8 bandejas iguales? En este caso, se trata de un contexto no matemático de la vida cotidiana. También habrá que plantear por qué para calcular 120+120+120+120+120+120+120+120, es posible realizar una multiplicación, pero no se puede para 120+ 8 + 5. En este caso se trata de un contexto matemático. (Problemas estructurados) En ambos planteos, la multiplicación es el instrumento que resuelve el problema: la noción está contextualizada y “funciona” en esos casos particulares. Es conveniente proponer situaciones para que estas operaciones se constituyan, de a poco, en recursos disponibles para resolver situaciones con distintos significados. Estos problemas refieren a distintos significados de la multiplicación En la escuela es necesario trabajar con cada uno de ellos, en diferentes momentos del año y a lo largo de varios años de la escolaridad para que los alumnos comprendan que la herramienta que permite resolver toda esta variedad de problemas es la multiplicación. Si en la enseñanza sólo se propusieran problemas que aluden a una relación de proporcionalidad, difícilmente los alumnos identificarán a la multiplicación como herramienta para los otros tipos de problemas. En los problemas multiplicativos podemos distinguir tres tipos de significado: Casos sencillos de proporcionalidad: Por ejemplo, si conocemos que 1 chocolate tiene 5 tabletas y queremos saber cuántas tabletas tienen 8 chocolates iguales para repartirlos entre amigos se está planteando un problema en el que uno de los datos es una constante de proporcionalidad. Otra posibilidad sería averiguar cuántas tabletas tienen 3 chocolates si conocemos que en 6 chocolates hay 24 tabletas, y si, en este caso, se cumple que 3 chocolates, que es la mitad de 6 chocolates, tendrán la mitad de 24, o sea 12.Considerar organizaciones rectangulares (filas y columnas) por medio de diversas estrategias de cálculo, reconociendo, progresivamente, la multiplicación como la operación que resuelve este tipo de problemas. Ejemplo: ¿Cuántas butacas hay que comprar para equipar una sala de cine si quieren poner 15 filas con 8 butacas en cada fila? Determinar la cantidad que resulta de combinar elementos de distintas colecciones por medio de diversas estrategias como dibujos, conteo, cuadros de doble entrada, diagrama de árbol, sumas sucesivas y, posteriormente, la multiplicación: Por ejemplo: ¿Cuántos equipos de remera y pantalón distintos se pueden formar con una remera verde, una roja y una azul, y con un pantalón blanco y uno negro? Se fueron probando la ropa de todas las maneras posibles para ver cuál les gustaba más. Lo que se les pide a los chicos que averigüen es cuántas maneras diferentes de vestirse encontraron. “No debemos pretender  que los alumnos realicen todos los problemas de un significado determinado en un día de clases sino se debe ir trabajando paulatinamente”. Para lograr el dominio paulatino de un concepto por parte de los alumnos es necesario proponerles entonces la resolución de una variedad de situaciones alrededor del mismo, esperando que, en principio, puedan poner en juego sus conocimientos, aún los erróneos o los poco convencionales, para luego en diferentes instancias de trabajo, los reformulen, amplíen y sistematicen. Esto demanda un trabajo organizado y  sostenido en el tiempo. Puede incluir varias clases en las que se desarrollen tareas de reflexión sobre diferentes estrategias de resolución con distintos objetivos, tareas que impliquen retomar relaciones o conclusiones que pudieron establecerse en clases anteriores, entre otras actividades.

 Las operaciones de suma y resta con los números naturales deben constituirse paulatinamente en un recurso disponible para resolver situaciones con distintos significados. Este trabajo ya se viene realizando en los años anteriores, pero este año se trabajaran con problemas de composición de dos transformaciones positivas sin conocer el estado inicial. Esto es por ejemplo: Melina está leyendo un libro y va por la página 98. Si el libro tiene 179 páginas, ¿cuántas páginas le falta leer para terminarlo? O calcular: ¿cuántas páginas le falta leer para terminarlo?” Y también se pondrán situaciones “moviendo” el lugar de la incógnita. En la medida en que los alumnos resuelvan los problemas con diferentes procedimientos, se debe promover la reflexión sobre lo realizado a partir de preguntas tales como: ¿Por qué decidiste resolver así? o ¿Cómo lo pensaste? Para a partir de esto avanzar en la explicitación tanto de los procedimientos como en los criterios elegidos. Al momento de presentar un problema aditivo a los alumnos hay que tener en cuenta que es habitual por parte de los alumnos razonar: en este problema si pregunta “cuanto quedó”, entonces es de resta; en este problema dice “en total” entonces es de sumar, o en este problema dice perdió, entonces hay que restar. Esto responde a la asociación de algunas palabras clave con una determinada operación, lo que refleja una resolución poco reflexiva. En los problemas aditivos podemos distinguir distintos significados: Unir: las dos colecciones están presentes y deben reunirse. Por ejemplo: calcular cuántos lápices hay en una caja en la que se pusieron lápices rojos y azules. Agregar: se parte de una colección y luego se agregan más. Por ejemplo: cuántos lápices negros hay si hasta ayer habían una cantidad y hoy uno de los chicos trajo más. Quitar: se parte de una colección y luego se quita una parte. Por ejemplo: cuántos lápices quedaron si había una cantidad y algunos se gastaron. Diferencia: Por ejemplo: averiguar cuánto más cuestan los lápices en una librería q en otra. Complemento: Por ejemplo: determinar si es necesario agregar lápices a una caja para que haya para todos los chicos

-Elija en esta lista un problema del campo aditivo y otro del campo multiplicativo y describa un procedimiento de cálculo mental que podrían utilizar los alumnos para resolverlos. Señale al menos una actividad posible de cálculo mental. “Son el resultado de una compleja construcción que demandó a la humanidad siglos de trabajo, de revisiones, ampliaciones y refinamientos, por lo que ya podemos anticipar que los alumnos no los aprenderán sin tropiezos. Tendremos que reflexionar entonces como docentes que una presentación desprovista de sentido no contribuirá a morigerar los tropiezos que necesariamente se presentarán”. Es necesario de disponer de un cierto repertorio de cálculos memorizados, entre los que se cuentan la suma y resta de dígitos; que por ejemplo 5  + 5 es fácil de recordar. Por otra parte, si los alumnos no disponen de los resultados en memoria, seguramente apelarán al conteo de algún tipo de elementos (dedos, por ejemplo) para resolverlos. El repertorio de cálculos mentales de 3er año tiene como punto de apoyo aquellos cálculos memorizados en 1ro y 2do. Si éstos no hubieran sido trabajados en los años anteriores, necesitarán ser abordados en 3ro. En 1° grado hay 30 chicos, si hay 23 lápices para trabajar en una actividad. ¿Cuántos lápices hay que agregar para que haya para todos los chicos? “Con un simple cálculo mental”: sabremos que hay que agregar 7 lápices para que los 30 alumnos tengan todos los lápices para trabajar ¿Como logramos este simple cálculo mental? Mostramos los complementos a diez como una herramienta potente al momento de calcular mentalmente, y esto es algo con lo que coincidimos ya que son el apoyo para variadas estrategias por las características de nuestro sistema de numeración: Sí Preguntáramos ¿cuánto falta a 23 para llegar a 30? Si trabajamos el reconocimiento de un número anteriormente dirán: 7 ¿Por qué? Puesto que 3 es la unidad y 4 es la decena, como en la unidad hay 3, pienso en el complemento de 3 que es 7. Sumando 3+7=10 más las 2 decenas serian 30. Probablemente, la mayoría de los niños resolverá este caso pensando “cuánto le falta a” 23 para llegar a 30. Algunos alumnos recurrirán al conteo desde 23, 24, 25… así hasta el 30; otros utilizarán ciertos resultados memorizados, luego, 23+7= 30. Después de que los niños hayan resuelto el problema, se podrá promover la comparación de los procedimientos de conteo y sumas sucesivas. En este caso, los procedimientos resultan económicos. Queda claro que estamos entendiendo al cálculo mental como un problema a resolver, donde no está dada de antemano la estrategia y es necesario delinearla, probarla y justificarla. Esta idea explica también el nombre de esta estrategia. Hablamos de “mental” porque se trata de un cálculo pensado, en el que hay que decidir qué y cómo relacionar los números para operar. Actividades para elaborar estrategias de cálculo. En este tipo de actividad se puede proponer la cuenta sola y pedir que se la resuelva “Sin usar el algoritmo convencional, resuelve el siguiente ejercicio. Explicar cómo lo pensaste” o plantear un problema con enunciado que implique para los niños resolver una cuenta interesante (sin el algoritmo). Aquí se deja a los niños más libres para pensar diferentes estrategias, sólo restringidos por el tipo de números y la operación que seleccionemos proponer. En los hechos esto implica la mayoría de las veces escribir las cuentas, mostrando de algún modo las asociaciones y descomposiciones que se realizan para operar. Esperamos que sea posible pensar diferentes procedimientos, discutirlos y argumentar en su favor o en contra para adquirir cada vez mayor dominio sobre ellos, es decir, sostenemos la necesidad de abordar el cálculo como “objeto de estudio” en sí mismo, más allá de que constituya una herramienta útil y eficaz a la hora de resolver problemas.“Una idea importante es que un mismo cálculo puede resolverse con diferentes procedimientos y que el más rápido y económico para un caso puede no serlo para otro; esto dependerá de los números que intervengan. A diferencia del algoritmo convencional que todos realizamos de la misma manera, el cálculo al que nos estamos refiriendo admite una diversidad de estrategias que pueden coexistir en el aula. Y, en este sentido, el que resulte más “cómodo” para un alumno puede no serlo para otro” (MECyT, 2006. Matemática 2, serie “Cuadernos para el aula”: 83)

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