FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES ESPECIALES

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA[pic 1]

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL

DE LA FUERZA ARMADA

NÚCLEO ZULIA

PROCESOS ESTOCÁSTICOS

Profesor: Mg. Sc. Harris Alberto Castro

FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES ESPECIALES

A.- DISCRETAS

   - DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

   - DISTRIBUCIÓN DE POISSON

   - DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMETRICA

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

    Fue desarrollada por un matemático y científico suizo llamado Jakob Bernoulli (1.654- 1.705). Una distribución sigue la ley Binomial cuando cumple las siguientes condiciones:

     1) Un   experimento   es   repetido   varias  veces  siendo  sus  resultados  independientes.

     2) En cada experimento hay dos resultados posibles ÉXITO y FRACASO, de allí su nombre de

         Binomial.

     3) La  probabilidad   de  éxito  se  designa  con la letra [ p  ],  y  la  probabilidad de   fracaso  se

         designa  con  la  letra  [ q ] que en una sola prueba son  invariables, donde:

                                        → p + q = 1

     4) La distribución puede ser.

                                         → asimétrica negativa si: p > 0,5 o 1/2

                                         → asimétrica positiva si: p < 0,5 o 1/2

                                         → es simétrica si p = 0,5 o 1/2.

      5) Se   utiliza   cuando   la   muestra    proviene    de    una   población   infinita   o   finita   con

          reemplazamiento.

      6) La expresión matemática para su cálculo es:

          →[pic 2]                                [pic 3]

               donde:   - n: N° de muestras seleccionadas

                             - k: cantidad de éxitos esperados          

                             - p: probabilidad de éxito

                             - q: probabilidad de fracaso

          7)  La Media Aritmética (µ), la Varianza (σ2) y la Desviación Estándar (σ) de la Distribución Binomial se determinan de la siguiente manera:                                     

                     → La Media Aritmética ( µ ) = n*p(x)

                     → La Varianza (σ2) = n*p(x)*q

                     → La Desviación Estándar (σ) = [pic 4]

EJERCICIOS

N° 1.- Una empresa que fabrica BATERÍAS PARA AUTOMÓVILES  a adaptado un sistema de control de calidad,  que le garantiza un  máximo del 2 % de unidades defectuosas. En las ventas que le ofrece a sus distribuidores, les garantiza un máximo de 2 unidades defectuosas en lotes de  de 20 baterías. Se desea saber ¿ Cual es la probabilidad de que se satisfaga esta garantía ?

N°2.-  Se lanza una moneda 3 veces. Cual será la probabilidad de que salgan dos caras de las tres veces. Determine también Media Aritmética (µ), la Varianza [V(x)] y la Desviación Estándar [D(x)].

N°3.-  Se ha demostrado estadísticamente que el 5 % los viejos bombillos consumidores de una gran cantidad energía,  no alcanzaba a durar más de 6 meses. Un comerciante  por   ejemplo compra un lote de 20 bombillos de estos.

¿ Cual será la probabilidad de que 2 de ellos, como máximo, lleguen a durar más de 6 meses ?. Determine también la D(x).

N°4.- El 60 % de las Historias Clínicas del Modulo de Barrio Adentro de la Comunidad “La Esperanza” de la Parroquia Idelfonso Vázquez, corresponden a adolescentes. Si se seleccionan 5 historias clínicas: ¿ Cual será la probabilidad de que correspondan a adolescentes ?. Determinar: µ, V(x) y D(x).

N°5.- La probabilidad de que cierto componente electromagnético pase con éxito una prueba de control de calidad es  3 de 4 unidades. Encuentre la probabilidad de que exactamente 2 de los siguientes 4 componentes ó unidades pasen el control de calidad. Halle también la D(x).

N°6.- Se lanza un DADO 30 veces. Determine la probabilidad de que salga el “lado del 6”,  5 veces.

N°7.- En el Banco Central de Venezuela seccional Maracaibo se sabe que el 80% de sus empleados capacitados en Mejoramiento Personal, reciben promociones durante el año. Determine la probabilidad que entre ocho empleados seleccionados al azar:

                      a) por lo menos 5 son promovidos.

                      b) de 4 – 6 sean promovidos.

                      c) cuando más 3 sean promovidos.

N°8.- Cual será la probabilidad de que una persona que apuesta, que al lanzar un dado 4 veces, no saldrá ni el “lado del 3” ni el “lado del 5”.

N°9.- En los hipermercados Bicentenario estadísticamente se ha comprobado que el promedio de ventas normales, es de 900.000,oo BsF./día y que la probabilidad de estas ventas es de 3/4 según los cálculos. Se quiere averiguar ¿Qué probabilidad hay de que ese promedio normal por día se cumpla , en cada uno de los 4 primeros días hábiles de la próxima semana ?

N°10.- La probabilidad de un paciente se recupere de una infección con el virus AH1N1, es de 0,4. Si se sabe que 15 pacientes han contraído la enfermedad, cual es la probabilidad de que:

                                      a) al menos 3 sobrevivan

                                      b) que entre 4 – 5 sobrevivan

                                      c) que exactamente 6 sobrevivan.

N° 11 Un distribuidor de semillas ha determinado a partir de numerosos ensayos que el 5% de un grupo grande de semillas no germina; vende las semillas en paquetes de 200 semillas, garantizando la germinación del 90%. ¿Cuál es la probabilidad de que un paquete escogido totalmente al azar no cumpla con las especificaciones?

Resp. (MOOD, Alexander. 1.964.pag. 85) 

PARA INVESTIGAR

N° 12 Se lanza un dado 10 veces. ¿Cuál es la probabilidad de que el número de unos y doses no difiera en más de 2 del valor de la media?

Resp. (MOOD, Alexander. 1.964. pag. 86) 

N° 13 Se lanza un dado hasta que aparece un 6. ¿Cuál es la probabilidad de que haya que lanzarlo más de 5 veces?

Resp. (MOOD, Alexander. 1.964. pag. 86) 

N° 14La probabilidad de que un paciente se recupere de un infarto al miocardio es de 0,4. Si se sabe que 15 personas han contraído tal enfermedad. ¿Cuál es probabilidad de que: 1) al menos 10 sobrevivan, 2) sobre vivan entre 3 y 8 personas, y 3) sobrevivan exactamente 5 personas?

Resp. (WALPOLE, Ronald y MYERS, Raymon. 1.995.pag. 118 y 119) 

DISTRIBUCIÓN DE POISSON

     Representa una distribución de probabilidades que es aplicable cuando la variable aleatoria se halla dentro de un intervalo de tiempo.

     Fue ideada por Simeón Denis Poisson(1.781-1.840), físico, teórico y matemático suizo, quien primero fue medico y desistió de esa carrera, a consecuencia de la muerte de uno de sus pacientes al cual no pudo salvarle la vida.

     La ecuación matemática para su cálculo es:

[pic 5]     

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