Distribuciones Especiales

DISTRIBUCIONES ESPECIALES DISCRETAS

ANDRES RICARDO MAESTRE MARTINEZ

Prof. Harold Valle

UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR

ADMINISTRACION DE EMPRESAS

VALLEDUPAR

2013

INTRODUCCION

En este trabajo definiremos y discutiremos diversas e importantes distribuciones especiales discretas, es decir, funciones de masa de probabilidad o funciones de distribución correspondiente a variables aleatorias discretas. Veremos las propiedades más importantes.

DISTRIBUCIONES ESPECIALES DISCRETAS

Las distribuciones discretas son aquellas en las que la variable puede pude tomar un número determinado de valores:

Ejemplo: si se lanza una moneda al aire puede salir cara o cruz; si se tira un dado puede salir un número de 1 al 6; en una ruleta el número puede tomar un valor del 1 al 32.

DISTRIBUCION BINOMIAL

Esta distribución se basa en el proceso de Bernoulli. Se denominan procesos de tipo Bernoulli, a todo experimento consistente en una serie de pruebas repetidas, caracterizadas por tener resultados que se pueden clasificar en si verifican o no cierta propiedad o atributo, siendo aleatorios e independientes.

Para identificar un proceso Bernoulli en una serie de pruebas repetidas, se deben verificar tres condiciones:

1. Resultados dicotómicos: Los resultados de cada prueba se pueden clasificar en "éxito" si verifican cierta condición, o "fracaso" en el caso contrario.

2. Independencia de las pruebas: El resultado de una prueba cualquiera es independiente del resultado obtenido en la prueba anterior, y no incide en el resultado de la prueba siguiente.

3. Estabilidad de las pruebas: La probabilidad p de obtener un resultado considerado como un éxito se mantiene constante a lo largo de toda la serie de pruebas.

Cuando en un proceso del tipo Bernoulli se desea saber la probabilidad de obtener exactamente r éxitos, en una serie de n pruebas, con una probabilidad de éxito p, se puede aplicar la fórmula de la probabilidad binomial:

X = 0, 1, 2, ……, n.

La media o valor esperado es m = np

La varianza s 2 = np(1-p)

Ejemplo:

Sea el caso de una droga X, con una dosis mortal de 1g/100 ml para cobayos experimentales, en el 25% de los casos. Aplicando esta dosis a cien cobayos se desea saber cuánto vale la probabilidad de que mueran veinte de ellos.

Primero analizaremos si este caso cumple los supuestos básicos de una distribución binomial:

• Los cobayos mueren (éxito) o sobreviven (fracaso).

• Que un cobayo muera con la dosis, no significa que lo hará el siguiente (independencia) pues no se trata de una epidemia.

• La probabilidad de que mueran se mantiene constante a lo largo de la serie de pruebas (p = 0,25).

Entonces, como si cumple los supuestos básicos, aplicamos la fórmula:

Ejemplo:

En una farmacia se ha calculado la probabilidad de venderle a un cliente con obra social es del 20%. Se eligen al azar 15 clientes de ese tipo que ingresan al negocio y se desea calcular la probabilidad de concretar menos de tres ventas.

Si se cumple los supuestos básicos de la distribución binomial, entonces:

P(x<3) = P(x=0) + P(x=1) + P(x=2)

Matemáticamente esto se resuelve así:

Entonces: P(x<3) = 0.0352 + 0.1319 + 0.2309 = 0.398

DISTRIBUCION POISSON

Se denominan procesos de tipo Poisson, a todo experimento consistente en una serie de pruebas repetidas dentro de un continuo, caracterizadas por tener resultados que se pueden clasificar en si verifican o no, cierta propiedad o atributo, siendo aleatorios e independientes del lugar que ocurren dentro del continuo.

Para identificar un proceso Poisson en una serie de pruebas repetidas, se deben verificar tres condiciones:

1. Sucesos puntuales: Los sucesos ocurren dentro de un continuo (espacio o tiempo) y ocupan una parte infinitesimal del mismo. Es decir, en el espacio un suceso es puntual y en el tiempo es instantáneo. En términos prácticos, los sucesos no ocupan una parte apreciable del continuo.

2. Sucesos independientes: La ocurrencia de un suceso en un lugar del continuo no condiciona la ocurrencia del anterior (o del siguiente) en otra parte del mismo.

3. Probabilidad constante: La probabilidad de ocurrencia de un suceso en un lugar del continuo es la misma en todo punto del mismo.

Son ejemplos de este tipo de proceso:

• la llegada de pacientes a una cola o línea de espera,

• los accidentes en una ruta, etc.

Esta probabilidad se aproxima a la binomial cuando la probabilidad de éxito es muy pequeña, por eso muchos la llaman: la "binomial de los sucesos raros".

Cuando en un proceso del tipo Bernoulli se desea saber la probabilidad de obtener exactamente x éxitos en un intervalo de tiempo, con un promedio de eventos esperados l , se puede aplicar la fórmula de la probabilidad de Poisson:

X = 0, 1, 2, …., n

e = 2.71828 (es una constante, la base de los logaritmos naturales)

Veamos el siguiente ejemplo:

Supongamos que estamos investigando la seguridad de una peligrosa intelección de calles, los registros policíacos indican una media de 5 accidentes mensuales en esta intersección.

El departamento de seguridad vial desea que calculemos la probabilidad de que en cualquier mes ocurran exactamente 3 accidentes.

Analizando el problema, este situación se ajusta a un proceso de Poisson, hay una secuencia de llegada (por mas que exista un choque múltiple, siempre hay uno que choca primero). Tenemos la siguiente información:

l = 5 accidentes por mes

x = 3 accidentes por mes

Aplicando la fórmula de la probabilidad de Poisson:

Distribucion Hipergeometrica

En teoría de la probabilidad la distribución hipergeométrica es una distribución discreta relacionada con muestreos aleatorios y sin reemplazo. Supóngase que se tiene una población de N elementos de los cuales, d pertenecen a la categoría A y N-d a la B. La distribución hipergeométrica mide la probabilidad de obtener x ( ) elementos de la categoría A en una muestra sin reemplazo de n elementos de la población original.

Propiedades

La función de probabilidad de una variable aleatoria con distribución hipergeométrica puede deducirse a través de razonamientoscombinatorios y es igual a

donde es el tamaño de población, es el tamaño de la muestra extraída, es el número de elementos en la población original que pertenecen a la categoría deseada y es el número de elementos en la muestra que pertenecen a dicha categoría. La notación hace referencia al coeficiente binomial, es decir, el número de combinaciones posibles al seleccionar elementos de un total .

El valor esperado de una variable aleatoria X que sigue la distribución hipergeométrica es

y su varianza,

En la formula anterior, definiendo

y

se obtiene

La distribución hipergeométrica es aplicable a muestreos sin reemplazo y la binomial a muestreos con reemplazo. En situaciones en las que el número esperado de repeticiones en el muestreo es presumiblemente bajo, puede aproximarse la primera por la segunda. Esto es así cuando N es grande y el tamaño relativo de la muestra extraída, n/N, es pequeño.

DISTRIBUCIÓN ESPECIAL CONTINÚA

Para una variable continua hay infinitos valores posibles de la variable y entre cada dos de ellos se pueden definir infinitos valores más. En estas condiciones no es posible deducir la probabilidad de un valor puntual de la variable; como se puede hacer en el caso

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