LA L O G I C A

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD

LOGICA MATEMATICA

TUTOR: Lic. FERNANDO CORTES DIAZ

LA L O G I C A

La lógica es un lenguaje artificial, pero formal, es decir le interesa la forma, no sólo los contenidos. Es un lenguaje abstracto que quiere analizar los razonamientos. Ahora bien, si por "lenguaje" se entiende un "sistema de signos", hay muchos tipos de lenguajes (no verbales, el arte etc.). Todo ello es estudiado por la ciencia de los signos, llamada semiótica, y se estudia desde tres puntos de vista: el sintáctico, el semántico y el pragmático.

La primera, el sintáctico, son las relaciones de las palabras entre sí.

El semántico son las relaciones de las palabras con su significado.

Finalmente, la palabra es pronunciada por uno y dirigida a otro. Aquí existe una relación a la que se le llama pragmática.

Estos tres tipos de relaciones están vinculados entre sí. La relación pragmática supone la semántica y la sintáctica; La semántica supone la sintáctica. Una palabra sin sentido no puede ser entendida y para que tenga sentido debe estar relacionada con otras palabras. En cambio, la relación sintáctica no supone de las otras dos y es posible la semántica sin entender la pragmática.

La lógica prescinde del aspecto semántico del lenguaje, o sea, de su significado y también prescinde del aspecto pragmático, y lo considera exclusivamente desde un punto de vista sintáctico.

Se sustituye los signos del lenguaje (las palabras) por símbolos, con lo cual se obtiene un lenguaje formal o simbólico.

Breve Reseña Histórica:

Se considera a Aristóteles (s IV a. C.) el fundador de la lógica. Para Aristóteles, la lógica era una propedéutica o introducción al saber general, pues constituye una especie de instrumento de todas las ciencias.

Los estoicos, amplían el campo de la lógica considerando otras formas de razonamiento. Llaman a la lógica “dialéctica” pasando a formar parte del trivium integrado por la gramática, la retórica y la dialéctica. En la filosofía moderna se critica el abuso que la escolástica medieval hizo de la lógica aristotélica. A partir del siglo XVIII el término lógica es usado por importantes filósofos, como Kant y Hegel, en un sentido que se aparta bastante de la clásica concepción de su significado. La lógica aristotélica constituye el núcleo fundamental de la llamada lógica clásica, primer período en el desarrollo de la lógica que se extiende hasta el siglo XVIII. Su característica más importante es que se valió de los lenguajes naturales y, por ende, se mantuvo alejada de las matemáticas. En el siglo XIX se produce una gran revolución en la materia, con lo que se inicia el segundo período en el desarrollo de la lógica. Se trata de la llamada lógica simbólica o lógica matemática, que es en sus orígenes obra de matemáticos que advirtieron la estrecha relación entre las dos disciplinas formales: la lógica y la matemática. Leibniz(fines del siglo XVIII), filósofo y matemático, pensaba que se podía crear un lenguaje simbólico tan perfecto que evitara las controversias entre los filósofos y redujera las disputas a meros errores de cálculo. Pero su obra no fue conocida en su época. En el siglo XIX, matemáticos como G. Boole y A. De Morgan intentaron expresar la forma de los razonamientos válidos en un lenguaje matemático. El desarrollo posterior de la lógica simbólica es la obra de G. Peano, C.S. Pierce, G. Frege, B. Russell y A. Whitehead, entre otros. Peano es el primero que expresa lógica matemática porque vio en la lógica un instrumento para lograr la sistematización y fundamentación de las matemáticas.

La más importante característica de la lógica simbólica es precisamente el extendido uso de símbolos especiales que le permiten liberarse de los lenguajes naturales y la aproximan al lenguaje de la matemática. La adopción del simbolismo en la lógica moderna ha sido comparada con el reemplazo de los números romanos por los números arábigos.

Actualmente la lógica y la matemática son consideradas ciencias auxiliares para la construcción de hipótesis y justificación de teorías.

Se puede concluir entonces que:

La lógica es la ciencia que estudia los principios y métodos para distinguir un razonamiento correcto de uno incorrecto.

La lógica estudia las estructuras del pensamiento: concepto, juicio y razonamiento.

Lenguaje formal

Consiste en abreviar o simbolizar las oraciones o juicios, que en la lógica matemática se llaman proposiciones. Estas proposiciones se reducen en el lenguaje formal a una sola letra, que llamamos variable, y la simbolizamos con las letras minúsculas del alfabeto que van de la “p” hasta el final del abecedario.

Qué es una Proposición?

Es una expresión con sentido completo de la cual se puede decir que es verdadera o falsa.

a.Bivalente: cuando una proposición tiene dos valores uno falso y uno verdadero.

b.Plurivalente: cuando tiene más de dos valores, verdadero, falso, probable.

c.No analizada: donde la totalidad de la proposición se considera una variable.

d.Analizada: Cuando nos metemos en la proposición para encontrar constantes y variables.

Clases de Proposiciones:

A. Proposición Atómica o simple: aquella que carece totalmente de conectivas. Es una variable.

B. Proposición molecular o compuesta: aquella que por lo menos tiene una conectiva.

Variable: Cualquier simple afirmación. Ej. El día es bonito.

Una forma lógica: es una estructura de la cual son reconocibles las constantes y las variables.

Para que haya proposición debe haber un VERBO, el simple sustantivo no es una proposición.

Ejemplo: “Si la pulga brinca y canta, entonces no me duele una muela”.

Forma lógica:

Si ( ) y ( ), entonces no ( ).

Cuando hay varias conectivas debe haber una que domine. Conectiva Principal. Y es la que la da el nombre a la proposición. En la anterior frase Si, entonces.

Razonamiento o inferencia es un procedimiento lógico por medio del cual de una o varias proposiciones que llamamos premisas deducimos otra que se llama conclusión.

1. Simbolizar los siguientes enunciados:

1. No hace frio pero llueve.

2. O se protege la flora y la fauna, o se quebrará el equilibrio ecológico.

3. La deserción escolar disminuirá si y sólo sí se mejoran las condicones de la población y se moderniza la educación.

CONECTIVOS LOGICOS

Son términos que sirven para enlazar proposiciones simples, estos son: la conjunción, disyunciones, la negación el condicional, bicondicional.

Conectivo Símbolo Lectura Ejemplo

Conjunción

y Leidy baila y canta

Disyunción inclusiva

ó Juan estudia ingeniería ó Patricia estudia medicina

Disyunción excluyente , W

.ó. Fabián vive en Neiva .ó. Bogotá

Negación

No 5 no es un número par

Condicional

Si,…, entonces, Si trabajo entonces estudiar

Bicondicional

Si… solo…si Si dos ángulos son congruentes si y solo si tienen la misma medida.

NEGACION:

La negación es la conexión lógica más sencilla. Toda proposición se puede negar anteponiendo a su enunciado “es falso que”, “no es cierto que” o “no es el caso que” o insertando dentro de la proposición la palabra “no”. Simbólicamente, la negación de la proposición p sería ~p, que se lee “no p”, “no es cierto que p”, “es falso que p” o “no es el caso que p”. La tabla de verdad para la negación es:

p q

V F

F V

Ejemplo.

La negación de p: todos los alumnos estudian matemática

es p: no todos los alumnos estudian matemática

o bien: p: no es cierto que todos los alumnos estudian matemática

p: hay alumnos que no estudian matemática

CONJUNCION:

La conjunción se puede utilizar cuando se quiere expresar el hecho de que dos proposiciones son verdaderas. El conectivo lógico que se usa en la conjunción es “ “ , el cual se lee como “y”. Si p y q son dos proposiciones, p q se llama conjunción de p y q. La palabra “y “ no siempre denota conjunción como en el caso de: “Carlos y Laura son hermanos”. Se pueden utilizar otras palabras para denotar conjunción como por ejemplo: “pero”, además”, “más aún”. La tabla de verdad de la conjunción es:

p q p q

V V V

V F F

F V F

F F F

Los métodos abreviados que se utilizan en el español no son permitidos en las afirmaciones lógicas, por ejemplo, la oración “Carlos y María van a bailar”. La forma correcta es “Carlos va a bailar y María va a bailar”. Entonces se pueden definir las proposiciones:

p : Carlos va a bailar

q : María va a bailar

Entonces la oración “Carlos y María van a bailar” se convierte en p q.

Ejemplo.

1. Sea la declaración

5 es un número impar y 6 es un número par

vemos que está compuesta de dos proposiciones a las que llamaremos p y q, que son:

p: 5 es un número impar

q: 6 es un número par

P  Q

y por ser ambas verdaderas, la conjunción

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