Variaciones del proceso de Poisson

• Variaciones del proceso de Poisson [1]

Para la facilidad del estudio de algunos problemas, la teoría se ha ampliado y a dado paso a la construcción de procesos como el Poisson compuesto, los procesos no homogéneos o los procesos en varias dimensiones.

• Proceso de Poisson Compuesto

Sea una variable aleatoria asociada a un evento particular de un proceso de Poisson. Supóngase que las variables son aleatorias, independientes e idénticamente distribuidas. Un ejemplo de esto puede ser los carros que llegan a un centro comercial y las variables asociadas, el número de pasajeros en el interior de cada uno. Sea  la suma de las variables.[pic 1][pic 2]

[pic 3]

además, si por consiguiente, al ser una suma de variables aleatorias, la media será el producto de las medidas de N y Y, la varianza se obtiene por la siguiente ecuación:[pic 4][pic 5]

[pic 6]

como

[pic 7]

entonces se obtiene

[pic 8]

[pic 9]

este modelo es útil cuando los tiempos de llegada no están asociados con valores unitarios y si las llegadas ocurren en grupos.

Siendo  formal,  es un proceso compuesto de Poisson si: [pic 10]

1. La función  es una función escalonada de saltos finitos.[pic 11]
2. El proceso tiene incrementos independientes.
3. El proceso tiene incrementos estacionarios.

• Proceso de Poisson No Homogéneo

Este  modelo  es apropiado en los casos en los que la hipótesis del proceso o la probabilidad de cada evento no es homogénea, también cuando el proceso solo es homogéneo para intervalos de tiempo muy pequeños. La diferencia principal con el caso homogéneo es que en esta se usa una función de tiempo y en el otro una función constante.

Decimos que es un proceso de Poisson con tasa si [pic 12][pic 13]

1. [pic 14]
2. tiene incrementos independientes[pic 15]
3. tiene distribución de Poisson con media [pic 16][pic 17]

En este caso los intervalos sucesivos de tiempo ya no son independientes ni tienen una distribución exponencial. Al igual que en el caso homogéneo este modelo cuenta con una serie de postulados con los cuales es posible mostrar que un proceso de conteo N(t) es un proceso de Poisson con función de intensidad .[pic 18][pic 19]

1. [pic 20]
2. tiene incrementos independientes[pic 21]
3. [pic 22]
4. [pic 23]

y de forma generalizada gracias a los estudios de Medhi(1981) y Çinlar (1975).

para [pic 24][pic 25]

• Proceso de Poisson en varias dimensiones

este modelo es una generalización al caso en el cual se trabajen con dos o más dimensiones. Sea S un conjunto en un espacio n-dimensional y sea A una familia de subconjuntos de s. Un proceso puntual en S es estocástico N(A) indexado por los subconjuntos A en A que tiene como valores posibles los elementos del subconjunto {0,1,2,…}. En este caso los puntos se encuentran dispersos en S de manera aleatoria y N(A) cuenta estos puntos en el conjunto A. El proceso puntual de Poisson será el caso unidimensional de este modelo, en el cual S es la semi-recta positiva y A es la colección de intervalos de la forma A= (s,t] para . La generalización al plano o al espacio tiene interés cuando se estudia por ejemplo la distribución de estrellas o galaxias en Astronomía, plantas o animales en ecología o defectos sobre una superficie en ingeniería, entre otros.[pic 26]

Sea S un subconjunto de , sea una familia de subconjuntos de S y para cualquier  sea le tamaño o magnitud de A. entonces es un proceso de Poisson puntual homogéneo de intensidad si [pic 27][pic 28][pic 29][pic 30][pic 31][pic 32]

1. la variable N(a) tiene distribución de Poisson con parametro [pic 33][pic 34]
2. para toda colección finitade conjuntos disjuntos de A las variables son independientes.[pic 35][pic 36]

Muchas de las propiedades del caso unidimensional pueden generalizarse para n-dimensiones, por ejemplo la uniformidad de la distribución de los puntos en una región dado que se conoce el numero de puntos:

considerando inicialmente la región  de tamaño positivo  y supóngase que se sabe que contiene exactamente un punto: entonces, la distribución de este punto es uniforme en el siguiente sentido[pic 37][pic 38][pic 39][pic 40]

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