Distribución probabilística: Enumeración de todos los resultados de un experimento junto con la probabilidad asociada con cada uno de ellos.

UNIDAD III. INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD

3.2. Variables aleatorias

Distribución probabilística: Enumeración de todos los resultados de un experimento junto con la probabilidad asociada con cada uno de ellos.

Variable aleatoria.  Cantidad que es el resultado de un experimento aleatorio el cual, debido al azar, puede tomar valores diferentes.

Una variable aleatoria  es una función que a cada resultado posible de un experimento aleatorio le asocia un número real. Es decir, es una función definida sobre un espacio muestral.

Variable aleatoria discreta.  Variable que solo puede tener ciertos valores claramente separados, que resultan de contar algún número de interés.

Ejemplos de variables discretas

1. Número de días nublados en 50 años en el mes de julio
2. Número de circuitos defectuosos en una muestra de 30.
3. El número de fallas del sistema de bombeo en cierto mes.
4. El número de personas que esperan en la fila para ser atendidos.
5. El número de hojas por planta en 1000 plantas de cierta variedad de maíz al inicio de floración.

Variable aleatoria continua. Puede tomar uno de una cantidad infinitamente grande de valores , dentro de ciertas limitaciones.

Diremos que  una variable aleatoria es discreta si puede tomar cuando más un número infinito denumerable de valores, y que es continua si puede tomar cualquier valor en un intervalo dado.

Ejemplos de variables continuas.

1. El tiempo requerido para efectuar un proceso de fabricación.
2. El peso neto de cierto número de paquetes.
3. La estatura de una persona de cierta población
4. La cantidad de alcohol en la sangre de un conductor detenido por exceso de velocidad.

MEDIA, VARIANZA Y DESVIACIÓN ESTANDAR DE UNA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD.

MEDIA. La media es un valor particular que sirve para representar una distribución probabilística. También es el valor promedio a largo plazo de la variable aleatoria. La media de una distribución probabilística se denomina también valor esperado, E(x). Es un promedio ponderado para el que los valores posibles que se consideran son afectados por las probabilidades correspondientes a la ocurrencia

Media de una distribución probabilística:

 μ = E(x)= ∑ [X.P(x)]

Donde P(x) es la probabilidad de cada valor posible de la variable aleatoria x. En otras palabras, se multiplica el valor de cada x por su probabilidad de ocurrencia, y luego  se suman estos productos

Varianza de una distribución probabilística:

Varianza = σ2 = ∑ [ (X - μ)2 P(x) ]

Los pasos de cálculo son:

1. Restar la media a cada valor y elevar al cuadrado la diferencia
2. Multiplicar el cuadrado de cada diferencia, por su probabilidad
3. Sumar los productos restantes para llegar a la varianza

3.3. Distribuciones de probabilidad

DISTRIBUCIÓN PROBABILISTICA BINOMIAL

La distribución probabilística binomial es un ejemplo de una distribución probabilística discreta. Una característica de la distribución binomial es que solo hay dos resultados posibles en una realización específica de un experimento. Los resultados son mutuamente excluyentes, lo cual  significa que la respuesta a una pregunta de  verdadero/falso no puede ser verdadera y falsa al mismo tiempo. Frecuentemente  clasificamos los dos resultados como “éxito” o “fracaso”. Sin embargo esta clasificación no implica que un resultado sea bueno y el otro malo.

Otra característica de  la distribución binomial es que la variable aleatoria es el resultado de conteos. Esto es se cuenta el número de éxitos en la totalidad de ensayos. 

Aquí consideramos repeticiones sucesivas de un experimento en el cual cada repetición es llamada un ensayo. Por lo tanto consideramos que hay solo dos resultados posibles para cada ensayo individual. En vez de designar estos resultados e1 y e2, lo convencional es llamarlos éxito E o fracaso F para enfatizar el hecho de que son los únicos resultados posibles.

Se acostumbra que el resultado que nos interesa se designe como éxito por el experimentador aún si es un evento es desastroso. Ejemplos:

1. Observar el próximo huevo de gallina que empolla y determinar si el pollo es macho o hembra.
2. Revisar un artículo de una línea de producción y observar si es defectuoso o no.
3. Un contratante hace una oferta para un contrato; el resultado es éxito o falla de obtener el contrato.

d. Se prueba un antibiótico en un ratón y se registra la reacción del animal        como positiva o negativa.

En resumen la distribución binomial tiene las siguientes características: 

1. Cada resultado se  clasifica en una de dos categorías mutuamente excluyentes: Éxito o fracaso
2. La probabilidad de un éxito permanece igual de un ensayo a otro.
3. Cada ensayo es independiente.
4. La distribución resulta de un conteo del número de éxitos en un número fijo de ensayos.

Distribución probabilística Binomial  [pic 1]

Donde:

[pic 2]= es el número de ensayos

x= es el número de éxitos

[pic 3]= es la probabilidad de éxito en cada ensayo

1. La media se expresa

μ = np

1. La varianza se expresa

σ2 = np(1-p) = npq

¿Cómo se  elabora una distribución probabilística binomial?

Para establecer una distribución probabilística binomial se debe saber:

1. El número de ensayos
2. La probabilidad de éxito en cada ensayo.

Por ejemplo, si un examen realizado al término de un curso de estadística consiste en 20 preguntas de opción múltiple, el número de ensayos es 20. Si cada pregunta tiene 5 opciones y solo una es correcta,  la probabilidad de éxito en cada ensayo de una persona que desconozca la materia es 0.20. De este modo, la probabilidad de que una persona sin conocimiento del tema adivine a una pregunta en forma correcta, tiene un valor de 0.20. Por tanto se cumplen las condiciones descritas en una distribución binomial.

Ejemplos:

En Anexos

Es necesario hacer varias observaciones adicionales acerca de las distribuciones binomiales:

1. si  n  permanece constante pero p aumenta  de 0.05 a 0.95, la forma de la distribución cambia. A medida que p se acerca a 0.50, la distribución binomial se vuelve más simétrica.

Cuando los valores de p  están alrededor de 0.05 la distribución es  positivamente asimétrica.

Cuando p rebasa 0.50 y avanza hacia 0.95, la distribución probabilística será  negativamente asimétrica.

2. Si p , probabilidad de éxito, permanece igual pero n va aumentando, la forma de lña distribución binomial  es cada vez más simétrica.

DISTRIBUCIÓN DE POISSON

Generalmente se le conoce como la “ley de eventos improbables”, lo cual significa que la probabilidad, de que suceda un evento específico es muy pequeña. La distribución de Poisson es del tipo probabilístico discreto porque se forma contando algo.

Se caracteriza por lo siguiente:

1. El espacio muestral se genera por un número muy grande (puede considerarse infinito) de repeticiones de un experimento cuyo modelo probabilìstico es Bernoulli, con probabilidades muy pequeñas de éxito. Por esta razón la distribución de Poisson se le llama de “eventos raros”. Las repeticiones del experimento Bernoulli se realizan en cada uno de los puntos de un intervalo de tiempo o espacio.
2. El número de éxitos en el intervalo lj es independiente del número de éxitos en el intervalo lk ,donde lj [pic 4] lk= [pic 5]
3. La probabilidad de que se tengan dos o más éxitos en el mismo punto del intervalo es cero.
4. El número promedio de éxitos en un intervalo es una constante  [pic 6], que no cambia de intervalo a intervalo.
5. La distribución resulta de un conteo del número exacto fijo de ensayos.
6. Se expresa

                                                      μx               μx e-μ

P(x) = -------    o    ----------  

                                                     x!eμ                 x!

donde:

μ= Es la media (aritmética) del número de ocurrencias (éxitos) en un intervalo de tiempo específico.

e= es la constante 2.71828

x= Es el número de ocurrencias (éxitos)

P(x)=Es el valor que se va a calcular para un valor dado de x

El número medio de éxitos, μ, puede determinarse en los casos de Poisson por medio de np, donde n es el número total de ensayos, y  p la probabilidad de éxito.

...