Estudio del cambio uniforme. Modelo Lineal

Unidad I. La Problemática

Tema 1.1 Estudio del cambio uniforme.   Modelo Lineal

Situación Problema 1.1: En seguida presentamos tres contextos reales en los que se considera la variación de una magnitud con respecto a otra. En cada contexto se cuenta con información a partir de la cual se puede responder las preguntas planteadas. El propósito de esta Situación Problema consiste, además de contestar, en analizar la problemática común que se presenta en los tres contextos reales y su estrategia de solución.

Primer contexto real: Un automóvil transita por una carretera recta.

[pic 2]

La siguiente tabla muestra el kilómetro sobre la carretera en el que se encuentra el automóvil para diferentes valores del tiempo en su recorrido.

1. ¿Cuál será la posición del automóvil a las t=3 horas?

1. ¿Dónde estará el automóvil a las 2 horas y cuarto?

1. Suponiendo que el automóvil mantiene su velocidad constante, ¿En qué instante pasará por la gasolinera más cercana que se encuentra en el kilómetro 167 de la carretera?

1. Muestre en un sistema de ejes coordenados el comportamiento gráfico de la posición del auto con respecto al tiempo, tomando al eje horizontal como el tiempo t y el eje vertical la posición x del automóvil.

Segundo contexto real: Se coloca una olla con agua en una parrilla encendida de modo que la temperatura T del agua aumenta uniformemente a razón de 6°C/minuto.[pic 3]

1. En un lapso de tres minutos, ¿Cuánto aumenta la temperatura?

1. Si a los 2 minutos la temperatura del agua era de 50°C, ¿Cuál será su temperatura a los cinco minutos?, y ¿Cuál fue la temperatura al inicio, cuando se colocó la olla en la parrilla?

1. ¿Cuál es el cambio en la temperatura ocurrido entre los 5 y 6.5 minutos?, ¿Y entre los 8 y 9.5 minutos?

1. Construye una expresión matemática a través de la cual se pueda predecir la temperatura del agua, T (en °C) cuando transcurre un tiempo “arbitrario” de t minutos.  

1. ¿En qué instante comienza a hervir el agua?  (suponer el grado de ebullición de 100°C)

1. Realiza la gráfica de la Temperatura de la olla “T” con respecto al tiempo “t”.

Tercer contexto real: la temperatura de la atmósfera en la primera de sus capas (tropósfera) disminuye uniformemente con respecto a la altitud; lo hace a razón de -6.5 °C/kilometro. Cierto montañista llega a la cumbre de una montaña de altura desconocida y reporta por radio su compañero (que está en la base de la montaña) que la temperatura allá arriba es de -1°C.  Por su parte, su compañero, en la parte más baja de la montaña, observa el termómetro marca 20°C.[pic 4]

1. Construye una expresión matemática que permita predecir la temperatura T para diferentes valores de la altitud h.

1. ¿Cuál es la altura de la montaña?

1. Realiza la gráfica de la Temperatura “T” en función de la altitud “h”.

Cuarto contexto real.  Dos tanques con agua tienen la misma forma y tamaño: la de un cilindro circular recto de 1 m de altura y 2500 cm2 como área de su base.  A uno de ellos, cuyo nivel actual del agua es 12 cm, una llave lo está llenando a razón constante de 7500 cm3/min; al otro, cuyo nivel actual del agua es 80 cm, una llave lo está vaciando a un ritmo de  5000 cm3/min.

1. ¿Por qué va llegar un momento en que ambos tanques tendrán el mismo nivel?

1. ¿Cuánto tiempo ha de transcurrir para que el nivel del agua en ambos tanques sea el mismo?  

y ¿cuál es dicho nivel común que ambos tanques tendrán?

1. ¿En cuánto tiempo se llenará el tanque cuyo nivel está creciendo?

1. ¿En cuánto tiempo se vaciará el tanque cuyo nivel está decreciendo?

1. Realiza las gráficas de las dos ecuaciones del nivel de los tanques con respecto al tiempo en un mismo plano coordenado 

Quinto contexto real.

Dos automóviles transitan sobre una carretera recta con dos carriles.  El primero de ellos va en el carril con circulación de izquierda a derecha, y el segundo, en el carril con circulación contraria.  Un eje x (medido en metros), ha sido colocado sobre la carretera con el origen en el punto O  y  con dirección positiva de izquierda a derecha.  El primer automóvil se encuentra en  x = 20 cuando  t = 3 segundos  y  avanza hacia la derecha a un ritmo constante de 5 metros cada segundo. El segundo automóvil se encuentra en  x = 80  cuando t = 2 segundos  y  avanza hacia la izquierda a un ritmo constante de 5 metros cada segundo. Contesta lo siguiente.[pic 5]

1. La ecuación que expresa la posición del primer automóvil en términos del tiempo.

1. La ecuación que expresa la posición del segundo automóvil en términos del tiempo.

1. ¿En qué tiempo los autos están en la misma posición?

1. ¿Cuál es el valor de x donde los autos están en la misma posición?

1. Dibuja las gráficas de las dos ecuaciones en un mismo plano coordenado, donde la variable t se coloca en el eje horizontal, y la variable x en el eje vertical y señala en ella las respuestas de los cuatro incisos.

[pic 6]

Tema 1.1 Estudio del cambio uniforme.   Modelo Lineal

Problemas Complementarios

Problema 1. Cuando un paracaidista se lanza desde una gran altura y abre su paracaídas,  llega un instante en que su movimiento es prácticamente uniforme. Consideremos que un paracaidista se encuentra a 2,500 metros de altura y está descendiendo uniformemente a una rapidez de 5 metros/segundo.

[pic 7]

1. Construye la función que permita predecir la altura h (en metros) del paracaidista.

1. Calcula el tiempo que tarda el paracaidista en llegar al suelo.

1. En el instante de t = 1.23 minutos ¿Qué posición tendrá el paracaidista?

1. Grafica la función de la altura h con respecto al tiempo t.

Problema 2. La presión p que experimenta bajo el agua un buzo depende de la profundidad h a  la que se encuentra éste. La razón con lo que está cambiando la presión (con respecto a la profundidad) es constante e igual a 0.0994 atmósferas/metro.[pic 8]

1.  Construye la función que permita predecir la presión a la que está expuesto un buzo considerando que la presión en la superficie es de 1 atmosfera.

1.  ¿Cuál será la presión a la que se encuentra el buzo a los 50 metros de profundidad, si la presión en la superficie es de 1 atmósfera?

1. Grafica la función de la presión p con respecto a la profundidad h.

Problema 3. Cuando un automóvil está en movimiento, la  cantidad de gasolina en su tanque disminuye con respecto a la distancia que recorre. En un Tsuru 2011 la razón con la que disminuye la gasolina es de 0.05 litros por kilómetro. Supongamos que vamos en ese automóvil por la carretera nacional y sabemos que hay 40 litros de gasolina en el tanque del carro.[pic 9]

1. Construye la función que predice la cantidad de gasolina en el tanque en términos de los kilómetros recorridos.

1. ¿Cuántos litros quedarán en el tanque una vez que el carro ha recorrido 130 kilómetros?

1. ¿Cuántos kilómetros se habrán recorrido cuando en el tanque quedan 18 litros de gasolina?

1. ¿Alcanzará o no alcanzará la cantidad actual de gasolina para viajar desde Monterrey a México, que se encuentra aproximadamente a 930 kilómetros de distancia?

1. Realiza la gráfica de la Gasolina del tanque con respecto a los kilómetros recorridos.

Problema 4. Una llave está llenando de agua un tanque que tiene la forma de un cilindro de un metro y medio de altura y radio en su base de 45 centímetros. La siguiente tabla muestra los valores del nivel de agua en el tanque en determinados tiempos.

...