Modelos lineales

NOTA:Para este trabajo utilizaremos R como soporte.

Ejercicio 1. El siguiente modelo puede ser usado para estudiar si los gastos en campaña afectan los

resultados de una elección:

        vote(A)        =        β0 + β1log(expendA) + β2log(expendB) + β3prtystrA + µ        (1)

Donde voteA es el% de votos recibidos por el candidato A, expenda y expendB son los gastos en campaña de cada candidato y prtystrA es una medida en porcentaje de la fuerza del partido del candidato A.

a) Estime el modelo usando la base EJERCICIO1 y reporte los resultados.Los gastos de A afectan los resultados? Y los gastos de B?

El modelo estimado está dado por:

        voteA\ =        45,09 + 6,081log(expendA) − 6,616log(expendB) + 0,152prtystrA

        (3,93)        (0,382)        (0,379)        (0,062)

        R2 = 0,7925        n = 173

Ahora procederemos a realizar las pruebas de hipótesis de ambas colas sobre β1,β2 y β3 al 5% para analizar su nivel de significancia.

H0 : β1 = 0

        Para este modelo tenemos n − #parametros´        = 173 − 4

Teniendo 169 grados de libertad, entonces se utiliza el percentil P5% = 1,974.

[pic 1]

Por tanto[pic 2]5%, es decir, H0 se rechaza, por lo tanto se tiene que β1 es distinto de

0.

Ahora realizamos las pruebas de hipótesis para β2.

Consideremos como hipótesis nula H0 : β2 = 0, entonces

[pic 3]

Entonces 17,456 > P5% por tanto, no se rechaza H0.

Finalmente consideremos H0 : β3 = 0, entonces

[pic 4]5%

Por tanto se rechaza H0,por lo tanto se tiene que β3 es distinto de 0.

Notemos queen cualquier caso se rechaza la hipótesis nula de que βi = 0 con i = 1,2,3, dado esto podemos responder a las preguntas expuestas en el enunciado.

[pic 5] ¿Los gastos en A afectan el número de votos en B?

Observamos que las hipótesis nulas para β1 y β3 se rechazaron, entonces estos tienen significancia en el modelo, por lo tanto, los gastos en A si influyen en el número de votos de B.

¿Los gastos en B afectan el número de votos en A?

Notemos como en el inciso anterior que la hipótesis nula β2 sea igual a 0 se rechaza, entonces β2 si tiene significancia en el modelo, por lo que los gatos en B afectará en el número de votos que se obtendra en A.

1. ¿Cuál es la interpretación de β1?

Teniendo esta expresión

[pic 6]

Donde β1 es la variación porcentual de los votos en A el 1% en la variación de los gastos de campaña de A.

En otras palabras, manteniendo constantes es decir sin cambio al pasar el tiempo los gastos de campaña de la lista B y el porcentaje de votos anteriores para la lista A. Se tiene que los votos en A varían en [pic 7] puntos por una unidad porcentual en los gastos de campaña de A.

1. Pruebe la hipótesis nula de que 1% de aumento de gastos de A está compensado por 1%de crecimiento de gastos de B. Se podrían usar los resultados de a) para probar la prueba de hipótesis planteada?

La hipótesis nula a considerar será:

H0 : β1 = −β2

O expresandolo de la siguiente manera

H0 : β1 + β2 = 0

Al querer realizar el cálculo, podemos darnos cuenta q pues no disponemos de la desviación estándar de[pic 8].

1. Estime un modelo que directamente devuelva el estadístico t para probar la hipótesis del Ítem c).Qué concluye? (use una prueba de dos colas)

Consideremos α = β1 + β2, entonces β1 = α − β2 y reemplazando en el modelo (1) se tiene que:

        (3,93)        (0,533)        (0,379)        (0,062)

De donde αb = −0,532 y deb (αb) = 0,5333.

Trabajando al 5% se tiene que

[pic 9]

Entonces[pic 10], por lo que no se rechaza H0 : α = 0.

¿Cuáles son las conclusiones?

Al realizar las pruebas en los Item anteriores sepuede notar que aunque exista un incremento de 1% en gastos en A no va ha compensar por un 1% en gastos en B.

Ejercicio 2. El salario mediano para recién graduados es determinado por

log(salary) = β0 + β1LSAT + β2GPA + β3log(libvol) + β4log(cost) + β5rank + µ

Donde LSAT es la nota mediana de la universidad de los graduados, GPA es la nota mediana del colegio de los graduados, libvol es el número de volúmenes en la biblioteca de los graduados, cost es el costo anual de la universidad, y Rank es el ranking en el que está situado la universidad, siendo Rank = 1 el mejor.

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