Algebra Lineal

Definicion De Espacio Vectorial

Definición de un espacio vectorial

Un espacio vectorial es un espacio de numerosos vectores diseminadas en todas las direcciones en las dos operaciones básicas que es la adición y multiplicación escalar, que puede realizarse con el cumplimiento de las siguientes propiedades:

Considere un espacio vectorial V formado por los vectores x, y, z, a continuación, tenemos las siguientes propiedades como verdaderas:

Propiedades de la suma

1. Propiedad de operación interna: Si el vector x es parte del espacio vectorial y el vector y es parte del espacio vectorial, y el vector resultante de la suma de estos dos vectores, el cual es el vector x + y es también una parte del espacio vectorial mismo.

2. Propiedad conmutativa: Si el vector x es parte del espacio vectorial, el vector y es parte del espacio vectorial, y tenemos un vector resultante de la suma de estos dos vectores, entonces el vector x + y es igual al vector y + x .

3. Propiedad asociativa: Si el vector x es parte del espacio vectorial, el vector y es parte del espacio vectorial y el vector z es parte del espacio vectorial, y tenemos un vector resultante de la adición de estos tres vectores entonces el vector x + (y + z) es igual al vector (x + y) + z.

4. Identidad aditiva: todo espacio vectorial contiene un vector nulo que es un vector cero, lo que se denomina como la identidad aditiva, de tal manera que su suma con cualquiera de los vectores en el espacio vectorial, no cambia el vector real, que es 0 + x = x.

5. Inverso aditivo: Para todos los vectores de un espacio vectorial determinado, existe un vector inversa disponible en el mismo espacio de tal manera que la suma de los dos vectores nos da un vector cero, en consecuencia si tenemos un vector x en el espacio vectorial entonces debemos también tener un vector -x del mismo vector en el espacio.

Propiedades escalares de la multiplicación:

Una multiplicación escalar es aquella en la que se multiplica un vector con cualquier cantidad escalar, que consiste en multiplicar la cantidad que contiene una dirección con una cantidad sin dirección.

1. Propiedad de operación interna: Si tenemos un vector x en un espacio vectorial dado y un número real, entonces decimos que el vector resultante de la multiplicación escalar de estas dos cantidades, debe existir también dentro del mismo espacio vectorial.

2. Propiedad distributiva: Si se tiene los vectores x y y en un espacio vectorial V y un número real, entonces la operación de a. (x + y) es equivalente a ax + ay.

3. Propiedad distributiva: Si hay un vector x en un espacio vectorial V y un número real a y b, la operación (a + b) x es equivalente a ax + bx.

4. Propiedad asociativa: Si hay un vector x en un espacio vectorial V dado y un número real a y b, entonces la operación a. (bx) es equivalente a (ab) x.

5. Propiedad unitaria: La multiplicación de cada vector en un espacio vectorial dado con una cantidad de unidas escalar dará como resultado al vector actual.

saludos y suerte prof lauro soto

Definicion De Subespacio Vectorial

Definición del subespacio y sus propiedades

Sea V un espacio vectorial arbitrario sobre un campo F. Un subconjunto no vacío W de V es llamado subespacio lineal de V, o simplemente un subespacio, siempre que se cumplan dos condiciones:

(i) a + b 2 W siempre a, b 2 W, y

(ii) ra 2 W siempre que r 2 F.

Está claro que todo subespacio de un espacio vectorial contiene el vector cero, 0. De hecho, {0} es un subespacio propio, llamado subespacio trivial. Consideremos, por ejemplo, una ecuación lineal a, b, c, d 2 F. Si d 6= 0, entonces su conjunto de soluciones no puede ser un sub-espacio de F3 ya que x = y = z = 0 no será una solución, y por lo tanto los conjunto de soluciones no contienen 0 = (0, 0, 0)T . Por otro lado, como se señala a continuación, el conjunto solución de un sistema arbitrario homogéneo ax + by + cz = 0 es un subespacio de F3.

Un subespacio W de V es un espacio vectorial sobre F por derecho propio. Sabemos por supuesto que W es un subconjunto no vacío de V, el cual es cerrado bajo la suma y la multiplicación escalar. Pero entonces W contiene 0, ya que 0W = 0 para cualquier w 2 W, y cada elemento w de W tiene su inverso aditivo -w en W, ya que -w = (−1) w. Pero el resto de los axiomas de espacio vectorial están en W, puesto que ya lo están en V. Por lo tanto, mantienen todos los axiomas del espacio vectorial en W.

Un hecho muy interesante sobre el espacio vectorial es que para cada espacio vectorial tenemos en realidad dos subespacios. Uno de ellos es el espacio vectorial propio, mientras que el otro es el subespacio cero, es decir, W = {0}.

Veamos un ejemplo de subespacio.

Calcula si el conjunto de entrada viene siendo el subespacio del espacio vectorial dado. Tenemos w como un conjunto de puntos de R2 donde el valor de cada elemento del conjunto debe ser mayor que cero. ¿Se está formando un subespacio de R2?

Para probar esto simplemente tenemos que confirmar si el conjunto de entrada se ajusta a la propiedad de cierre de la multiplicación y suma escalares.

Tomando la primera propiedad de clausura bajo la adición

(x¬1¬, y¬1¬) + (x¬2¬, y¬2¬) = (x¬1¬ + x¬2¬, y¬1¬ + y¬2¬)

Ahora, ya se ha dicho que el valor de cada elemento en el conjunto es mayor que cero. Por lo tanto, tenemos x¬1¬ y x¬2¬ es mayor que cero, esto significa que su suma también debe ser mayor que cero. Similar es el caso de y¬1¬ y y¬2¬. Esto significa que la propiedad de clausura bajo la adición es cierta.

Tomando la segunda propiedad de la multiplicación escalar,

Para demostrar esta propiedad tomamos una cantidad escalar negativa c. Entonces su multiplicación con cualquier elemento del conjunto será, c(x, y) = (cx, cy)

Como el valor de c es negativo su multiplicación con cualquier cantidad positiva produce un término negativo. En consecuencia, la propiedad de cierre de la multiplicación escalar no es verdadera lo cual significa que no forma parte del espacio vectorial dado.

saludos y suerte prof lauro soto

Combinacion Lineal

Combinación

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