Algebra Lineal

TRANSFORMACIONES LINEALES Y MATRICES

Comenzamos definiendo una tranformación lineal. Ejemplos típicos son la derivada y la integral, al igual que las proyecciones. Definimos el kernel y rango de una transformación lineal T : V  W y los denotamos por N(T) y R(T) respectivamente. Es un ejercicio verificar que N(T)  V y R(T)  W. Definimos nulidad(T) = dim(N(T)) y rango(T) = dim(R(T)).

TEOREMA 2.1 Si T : V  W es una transformación lineal, entonces V es dimensionalmente finito si y sólo si N(T) y R(T) son dimensionalmente finitos, y en este caso,

dim(V) = nulidad(T) + rango(T).

Demostración

Dados dos espacios vectoriales V y W sobre un campo F, definimos

L(V, W) = {T : V  W | T es una transformación lineal}.

Si T, U  L(V, W) y a  F, definimos aT + U : V  W como (aT + U)(x) = aT(x) + U(x) para toda x  F. Es un ejercicio verificar que aT + U es una transformación lineal y que L(V, W), junto con estas operaciones de suma y de multiplicación por escalares, es un espacio vectorial sobre F.

Definimos el que una función fuera inyectiva, sobre y biyectiva. Es un ejercicio demostrar que para una transformación lineal T : V  W, las siguientes condiciones son equivalentes:

• T es inyectiva

• N(T) = {0} (es decir, nulidad(T) = 0)

• Para todo S  V, S es linealmente independiente si y sólo si T(S)  W es linealmente independiente

También se deja como ejercicio el verificar que si V y W son dos espacios vectoriales con la misma dimensión (finita) y T : V  W es una transformación lineal, entonces T es inyectiva o sobre si y sólo si es biyectiva.

Una transformación lineal es una función que preserva la estructura algebraica de espacio vectorial, por lo que no toda función entre espacios vectoriales es una transformación lineal. De hecho, es sencillo encontrar funciones inyectivas, sobre, y biyectivas que no son transformaciones lineales. Esto motiva las definiciones de

Codominio

Imagen de una función f de dominio X y codominio Y. El óvalo pequeño dentro del codominio es la imagen (o rango) de f.

En matemáticas, el codominio o contradominio (también denominado conjunto final, recorrido o conjunto de llegada) de una función es el conjunto que participa en esa función, y se denota o o .

Sea la imagen de una función , entonces .

Ejemplo[editar]

Para una función

definida como una función cuadrática:

, o el equivalente ,

el codominio de es , pero siempre toma un valor positivo. Por lo tanto, la imagen de es el conjunto ; por ejemplo, el intervalo [0,∞).

recorrido

Cambio horizontal entre dos puntos de una línea. Es igual a la diferencia entre las abscisas de los dos puntos dados. La relación de elevación a recorrido da el gradiente (o pendiente) del segmento de línea que pasa a través de los dos puntos dados.

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Relacionó los Términos: gradiente, ordenada, elevación

Núcleo

El término núcleo puede referirse a los siguientes conceptos:

En ciencias formales (a veces se puede referir como kernel)

• En álgebra lineal, se refiere al núcleo o kernel de una aplicación, o conjunto de puntos cuya imagen asignada por la aplicación es el vector nulo.

• En la teoría del potencial se refiere al núcleo o kernel de Poisson.

• En computación, se refiere al núcleo (o kernel) de un sistema operativo.

• En química inorgánica, el kernel es una forma de simplificación de la configuración electrónica de un elemento.

Aplicación lineal

Para otros usos de este término, véase Función lineal (desambiguación).

No debe confundirse con Función lineal.

En matemáticas una aplicación lineal (también llamada función lineal, transformación lineal u operador lineal) es una aplicación entre dos espacios vectoriales, que preserva las operaciones de adición de vectores y multiplicación por un escalar.

En álgebra abstracta y en álgebra lineal una aplicación lineal es un homomorfismo entre espacios vectoriales o en el lenguaje de la teoría de categorías un morfismosobre la categoría de los espacios vectoriales sobre un cuerpo dado.

Definición. La matriz asociada a la transformación lineal T , respecto a las bases ordenadas y , es la matriz descrita arriba. Cuando y se escribe simplemente .

Ejemplo.

Sea dada por la derivada de f; y sean y las bases canónicas de y (ordenadas en la forma estándar) , respectivamente.

Tenemos los siguientes datos:

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