Algebra Lineal

República Bolivariana de Venezuela

Ministerio del Poder Popular para la Educación Superior

Universidad del Zulia

LUZ

Cabimas, Edo. Zulia

Algebra Lineal

Realizado por:

Nestor G. Vivas U. C.I.: 25.486.206

Fernando J. Marcano M. C.I.: 23.882.113

Carlos Carrascos C.I.: 23.762.414

Sección: 001

Profesora: Edith M. Rondón L.

Cabimas, Mayo de 2014

Índice Analítico

Tema 1. Transformaciones Lineales

1.1.- Definición

1.2.- T. Inyectiva, T. Sobreyectiva, T. Biyectivas.

1.3.- Transformaciones del plano.

1.3.1.-Transformaciones de Figuras Geométricas.

1.4.- Núcleo e imagen de una transformación.

1.5.- Representación matricial de una TL respecto de la Base Canónica

1.6.- Isomorfismo de una Transformación Lineal.

1.7.- Algebra de Transformaciones.

1.8.- Inversa de Transformaciones

Tema 2. Diagonializacion de una Matriz

1.- Diagonalización de una matriz

1.1.- Matriz de cambio de base

1.2.- Matriz semejante

1.3.- Valor y vector propio

1.3.1.- Definición

1.3.2.- Propiedades

1.4.- Polinomio característico y ecuación característica de una matriz

1.5.- Vectores propios e independencia lineal

Tema 3. Espacios Vectoriales

1.- Operaciones en R^n

2.- Espacio Vectorial

2.1.- Definición de espacio vectorial

2.2.- Subespacios vectoriales

2.2.1.- Teoremas

2.3.- Definición de combinación lineal

2.4.- Subespacio generado

2.5.- Dependencia e independencia lineal

2.6.- Base de un espacio vectorial

2.7.- Dimensión de un espacio

2.8.- Espacio nulo de una matriz

2.9.- Vector coordenado respecto de una base

2.10.- Espacio columna de una matriz

2.11.- Producto interno de conjuntos ortogonales

Tema 1. Transformaciones Lineales

1.1.- Definición

Las transformaciones lineales son las funciones con las que trabajaremos en Algebra Lineal.

Se trata de funciones entre K-espacios vectoriales que son compatibles con la estructura (esdecir, con la operación y la acción) de estos espacios. Sean (V, +V, •V) y (W, +W , •W ) dos K-espacios vectoriales. Una funciónf : V → W se llama una transformación lineal (u homomorfismo, o simplemente morfismo)de V en W si cumple:

i) f(v +Vv0) = f(v) +W f(v0) ∀ v, v0 ∈V.ii) f(λ •Vv) = λ •W f(v) ∀ λ ∈ K, ∀ v ∈ V.

1.2.- T. Inyectiva, T. Sobreyectiva, T. Biyectivas.

Una transformación lineal es inyectiva si para cualesquiera elementos se cumple que:

se dice sobreyectiva si .

Proposición 1. Si es una transformación lineal, entonces las siguientes condiciones son equivalentes:

1. es inyectiva.

2. .

3. Si son vectores L I de , entonces son vectores LI de .

4. Si es una base de , entonces es una base de .

En particular, si y son espacios de dimensión finita , entonces es inyectiva si y sólo si es sobreyectiva.

Se dice que es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva. Dos -espacios y se dicen isomorfos si existe una transformación lineal biyectiva de en . Esta relación entre y se denota por .

Siendo biyectiva, existe la función inversa de definida por

donde y . Es obvio que es también una tranformación lineal y cumple las siguientes condiciones:

Nótese que es la única transformación de en que cumple estas identidades, y se le conoce como la transformación inversa de . Se ha visto que una transformación lineal biyectiva tiene inversa, ésta es única y viene caracterizada por las identidades anteriores.

Nótese que la relación "ser isomorfo" es una relación de equivalencia en la colección de todos los -espacios. Es también claro que la composición de dos isomorfismos es nuevamente un isomorfismo.Un isomorfismo de un espacio en si mismo se denomina un automorfismo de . La colección de todos los automorfismos de un espacio se denota por . Se tiene entonces inmediatamente el siguiente resultado.

Proposición 2. Si es un -espacio, entonces es un grupo respecto de la composición de transformaciones con elemento neutro

Una consecuencia inmediata de la Proposición 1 es el siguiente corolario.

Corolario 1. Sea una transformación lineal de un espacio de dimensión finita . Entonces las siguientes condiciones son equivalentes:

...