Algebra Lineal

República Bolivariana de Venezuela

Ministerio del Poder Popular para la Educación Superior

Universidad del Zulia

LUZ

Cabimas, Edo. Zulia

Algebra Lineal

Realizado por:

Nestor G. Vivas U. C.I.: 25.486.206

Fernando J. Marcano M. C.I.: 23.882.113

Carlos Carrascos C.I.: 23.762.414

Sección: 001

Profesora: Edith M. Rondón L.

Cabimas, Mayo de 2014

Índice Analítico

Tema 1. Transformaciones Lineales

1.1.- Definición

1.2.- T. Inyectiva, T. Sobreyectiva, T. Biyectivas.

1.3.- Transformaciones del plano.

1.3.1.-Transformaciones de Figuras Geométricas.

1.4.- Núcleo e imagen de una transformación.

1.5.- Representación matricial de una TL respecto de la Base Canónica

1.6.- Isomorfismo de una Transformación Lineal.

1.7.- Algebra de Transformaciones.

1.8.- Inversa de Transformaciones

Tema 2. Diagonializacion de una Matriz

1.- Diagonalización de una matriz

1.1.- Matriz de cambio de base

1.2.- Matriz semejante

1.3.- Valor y vector propio

1.3.1.- Definición

1.3.2.- Propiedades

1.4.- Polinomio característico y ecuación característica de una matriz

1.5.- Vectores propios e independencia lineal

Tema 3. Espacios Vectoriales

1.- Operaciones en R^n

2.- Espacio Vectorial

2.1.- Definición de espacio vectorial

2.2.- Subespacios vectoriales

2.2.1.- Teoremas

2.3.- Definición de combinación lineal

2.4.- Subespacio generado

2.5.- Dependencia e independencia lineal

2.6.- Base de un espacio vectorial

2.7.- Dimensión de un espacio

2.8.- Espacio nulo de una matriz

2.9.- Vector coordenado respecto de una base

2.10.- Espacio columna de una matriz

2.11.- Producto interno de conjuntos ortogonales

Tema 1. Transformaciones Lineales

1.1.- Definición

Las transformaciones lineales son las funciones con las que trabajaremos en Algebra Lineal.

Se trata de funciones entre K-espacios vectoriales que son compatibles con la estructura (esdecir, con la operación y la acción) de estos espacios. Sean (V, +V, •V) y (W, +W , •W ) dos K-espacios vectoriales. Una funciónf : V → W se llama una transformación lineal (u homomorfismo, o simplemente morfismo)de V en W si cumple:

i) f(v +Vv0) = f(v) +W f(v0) ∀ v, v0 ∈V.ii) f(λ •Vv) = λ •W f(v) ∀ λ ∈ K, ∀ v ∈ V.

1.2.- T. Inyectiva, T. Sobreyectiva, T. Biyectivas.

Una transformación lineal es inyectiva si para cualesquiera elementos se cumple que:

se dice sobreyectiva si .

Proposición 1. Si es una transformación lineal, entonces las siguientes condiciones son equivalentes:

1. es inyectiva.

2. .

3. Si son vectores L I de , entonces son vectores LI de .

4. Si es una base de , entonces es una base de .

En particular, si y son espacios de dimensión finita , entonces es inyectiva si y sólo si es sobreyectiva.

Se dice que es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva. Dos -espacios y se dicen isomorfos si existe una transformación lineal biyectiva de en . Esta relación entre y se denota por .

Siendo biyectiva, existe la función inversa de definida por

donde y . Es obvio que es también una tranformación lineal y cumple las siguientes condiciones:

Nótese que es la única transformación de en que cumple estas identidades, y se le conoce como la transformación inversa de . Se ha visto que una transformación lineal biyectiva tiene inversa, ésta es única y viene caracterizada por las identidades anteriores.

Nótese que la relación "ser isomorfo" es una relación de equivalencia en la colección de todos los -espacios. Es también claro que la composición de dos isomorfismos es nuevamente un isomorfismo.Un isomorfismo de un espacio en si mismo se denomina un automorfismo de . La colección de todos los automorfismos de un espacio se denota por . Se tiene entonces inmediatamente el siguiente resultado.

Proposición 2. Si es un -espacio, entonces es un grupo respecto de la composición de transformaciones con elemento neutro

Una consecuencia inmediata de la Proposición 1 es el siguiente corolario.

Corolario 1. Sea una transformación lineal de un espacio de dimensión finita . Entonces las siguientes condiciones son equivalentes:

1. es inyectiva

2.

3. es sobreyectiva

4.

5. es un automorfismo.

El siguiente teorema pone de manifiesto la importancia del concepto de isomorfismo para el caso de los espacios vectoriales.

Teorema 3. Salvo isomorfismos, el único -espacio de dimensión es sucesiones reales convergentes . Más exactamente, si es un -espacio de dimensión , entonces .

1.3.- Transformaciones del plano

Las Transformaciones en el plano hacen corresponder a cada punto del plano otro punto del plano. Existen muchas formas de transformar el plano, pero hay una que es motivo de nuestro interés, esta forma consiste en transformar el plano conservando las distancias, es decir, la distancia entre dos puntos es igual a la distancia entre sus transformados. Estos tipos de transformaciones reciben el nombre de movimientos o Isometrías.

1.3.1.-Transformaciones de Figuras Geométricas.

Una transformación geométrica, o simplemente una transformación, es una aplicación que hace corresponder a cada punto del plano otro punto del plano. Como consecuencia, las figuras se transforman en otras figuras.

Las transformaciones más usuales son las traslaciones, rotaciones, simetrías y las homotecias. Todas ellas mantienen la forma de las figuras, pero pueden disminuir el tamaño y cambiar la figura de posición.

1.4.- Núcleo e imagen de una transformación.

Teorema 1. Sea T: V W una transformación lineal. Entonces para todos los vectores u, v, v1, v2,….vn en V y todos los escalares

Nota en la parte i el 0 de la izquierda es el vector cero en v; mientras que el cero de la derecha es el vector cero en W.

i. T(0) = T(0 + 0)= T(0) + T(0). Así 0= T(0) – T(0) = T(0) + t(0) – T(0) = T(0)

ii.T(u-v) = T[u + (-1)v] = Tu + T[(-1)v] = Tu + (-1)Tv = Tu – Tv.

iii.Esta parte se prueba por inducción (vea el apéndice 1). Para n = 2 se tiene T(α1v1 + α2v2) = T (α1v1) + T(α2v2) = α1Tv1 + α2Tv2. Así, la ecuación (1) se cumple para n = 2. Se supone que se cumple para n = k y se prueba para n=k + 1: T(α1v1 + α2v2+ ….+ αkvk+αk+1vk-1 ) = T(α1v1 + α2v2+….+αkvk) + T(αk+1vk+1), y usando la ecuación en la parte iii para n= k, esto es igual a (α1Tv1 + α2Tv2+….αkTvk) + αk+1Tvk+1, que es lo que se quería demostrar. Esto completa la prueba.

Observación. Los incisos i) y ii) del teorema 1 son casos especiales del inciso iii). Un dato importante sobre las transformaciones lineales es que están completamente determinadas por el efecto sobre los vectores de la base.

Teorema 2 Sea v un espacio vectorial de dimensión finita con base B= {v1,v2,….vn}. Sean w1,w2,….wn vectores en W. Suponga que T1 y T2 son dos transformaciones lineales de V en W tales que T1vi = T2vi = wi para i = 1, 2,…,n. Entonces para cualquier vector v ϵ v, T 1v = T2v; es decir T1 = T2.

Como B es una base para V, existe un conjunto único de escalares α1, α2,…., αn. Tales que v = α1v1 + α2v2 + …+ αn vn.

Entonces, del inciso

iii) del teorema 1, T1v = T1(α1 v1 + α2v2 + …+ αnvn) = α1T2v1 + α2T2v2 +… + αnTnvn= α1w1 + α2w2 +…+ αnTnvn

De manera similar T2v = T2(α1v1 + α2v2 + …+ αnvn) = α1T2v1 + α2T2v2 +…+ αnTnvn= α1w1 + α2w2 +…+ αnvn

Por lo tanto, T1v =T2v.

El teorema 2 indica que si T:v W y V tiene dimensión finita, entonces sólo es necesario conocer el efecto que tiene T sobre los vectores de la base en V. Esto es, si se conoce la imagen de cada vector básico, se puede determinar la imagen de cualquier vector en V. Esto determina T por completo. Para ver esto, sean v1, v2,….vn una base en V y sea v otro vector en V. Entonces, igual que en l aprueba del teorema 2, Tv = α1Tv1 + α2Tv2 +…+ αnTvn

Así, se puede calcular Tv para cualquier vector vϵ V si se conocen Tv1,Tv2,….Tvn

Ejemplo 1 Si se conoce el efecto de una transformación lineal sobre los vectores de la base, se conoce el efecto sobre cualquier otro vector.

Sea T una transformación lineal de R3 en R2 y suponga que

Solución. Se tiene

Entonces

Surge otra pregunta; si w1,w2,….,wn son n vectores en W, ¿existe una transformación lineal T tal que Tv1 = w1 para i = 1,2,…,n? La respuesta es sí. Como lo muestra el siguiente teorema.

Definición 1: Núcleo e imagen de una transformación lineal

Sean V y W dos espacios vectoriales y sea T:V W una transformación lineal. Entonces:

i . El núcleo de T, denotado por un, está dado por

ii. La imagen de T, denotado por Im T, esta dado por

Observación 1. Observe que un T es no vacio porque, de acuerdo al teorema 1, T(0) = 0 de manera que 0 ϵ un T para cualquier

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