Derivadas

CALCULO DIFERENCIAL

Escuela Colombiana de Ingeniería

3.- Derivadas Algebraicas

3DERIVADAS ALGEBRAICAS

3 DERIVADAS ALGEBRAICAS

Entiéndase la derivada como la pendiente de la recta tangente a la función en un punto

dado, lo anterior implica que la función debe existir en ese punto para poder trazar una

recta tangente en él.

3.1. DIFERENCIACIÓN NORMAL

La derivada se puede conocer como un caso particular del límite.

Para conocer numéricamente el valor de la pendiente de una función en un punto dado

es necesario resolver la ecuación:

( ) ( )

h

f x h f x

Pendiente en P Lim

h

1 1

0

1

+ -

=

®

Para lo cual hay necesidad de utilizar una calculadora y evaluar la ecuación en valores

cercanos a cero (0).

A lo anterior se le conoce como el método numérico, utilizado para conocer la pendiente

de la ecuación de grado menor, pero existe lo que se llama diferenciación formal para

resolver ecuaciones de grado superior.

3.2. FUNCIONES POLINOMIALES Y SUS DERIVADAS

Existen los conocidos monomios y polinomios, los primeros contiene solamente una

expresión de la variable, y los segundos corresponden a una suma finita de monomios.

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Derivada

Sea y = f (x) una función de x. Si el limite

( ) ( ) ( )

h

f x h f x

f x Lim

dx

dy

h

= = + -

®0

'

Existe y es finito, diremos que este límite es la derivada de ¦

respecto a x y que ¦ es diferenciable en x.

A continuación se estudiaran algunas reglas para diferenciación:

Derivada de una Constante

Regla No. 3.1 La derivada de una constante es cero

El significado geométrico de esta afirmación es el hecho que la pendiente de la recta

y = c , para cualquier valor de x, es cero.

Derivada de una potencia entera positiva

Potencias enteras positivas de x

Regla No. 3.2

Si n es un número entero positivo, entonces:

d n n 1

x n x

dx

= -

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Deducción:

y = f (x) = xn

Entonces

( ) ( )

x

f x x f x

x

y

D

= + D -

D

D

Como n es un número entero positivo, se puede aplicar:

an - bn = (a - b) (an-1 + an-2b +........+ abn-2 + bn-1 )

Donde a = x + Dx , b = x , a - b = Dx , que reemplazado en la ecuación anterior da:

( ) ( )

x

x x x

x

y n n

D

= + D -

D

D

( )( ( ) ( ) ( ) )

( ( ) ( ) ( ) )

1 2 2 1

1 2 2 1

......

......

n n n n

n n n n

y x x x x x x x x x x

x x

y

x x x x x x x x x

x

- - - -

- - - -

D = D + D + + D + + + D +

D D

D = + D + + D + + + D +

D

Haciendo que Dx ®0 ,

x 0

dy y

Lim

dx D ® x

D  =    D 

(( 0) 1 ( 0) 2 ........ ( 0) 2 1 ) dy n n n n

x x x x x x

dx

= + - + + - + + + - + -

( n 1 n 1 ...... n 1 n

...