Derivada

ESCUELA ACADÉMICO-PROFESIONAL

INGENIERÍA INDUSTRIAL

MONOGRAFÍA:

LA DERIVADA

AUTORES:

CORDOVA PERALTA DANIEL

LÍNEA DE INVESTIGACIÓN DE LA ESCUELA:

PRODUCCIÓN

LIMA, OCTUBRE DE 2013

A nuestros padre, compañeros, docentes

por su apoyo y motivación en la elaboración

de esta monografía.

LA DERIVADA

Los problemas típicos que dieron origen al cálculo infinitesimal, comenzaron a plantearse en la época clásica de la antigua Grecia (siglo III a.c), pero no se encontraron métodos sistemáticos de resolución hasta veinte siglos después (en el siglo XVII por obra de Isaac Newton y Gottfried Leibniz).

En lo que atañe a las derivadas existen dos conceptos de tipo geométrico que le dieron origen:

• El problema de la tangente a una curva (Apolonio de Perge)

• El Teorema de los extremos: máximos y mínimos (Pierre de Fermat)

En su conjunto dieron origen a lo que modernamente se conoce como cálculo diferencial.

IMPORTANCIA DE LA DERIVADA

En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se toma cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado. En términos físicos, representa la cuantía del cambio que se produce sobre una magnitud.

Un ejemplo habitual aparece al estudiar el movimiento: si una función representa la posición de un objeto con respecto al tiempo, su derivada es la velocidad de dicho objeto. Un avión que realice un vuelo transatlántico de 4500 km en entre las 12:00 y las 18:00, viaja a una velocidad media de 750 km/h. Sin embargo, puede estar viajando a velocidades mayores o menores en distintos tramos de la ruta. En particular, si entre las 15:00 y las 15:30 recorre 400 km, su velocidad media en ese tramo es de 800 km/h. Para conocer su velocidad instantánea a las 15:20, por ejemplo, es necesario calcular la velocidad media en intervalos de tiempo cada vez menores alrededor de esta hora: entre las 15:15 y las 15:25, entre las 15:19 y las 15:21, etc.

El valor de la derivada de una función en un punto puede interpretarse geométricamente, ya que se corresponde con la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. La recta tangente es a su vez la gráfica de la mejor aproximación lineal de la función alrededor de dicho punto. La noción de derivada puede generalizarse para el caso de funciones de más de una variable con la derivada parcial y el diferencial.

La derivada de una función f en un punto x se denota como f′(x). La función cuyo valor en cada punto x es esta derivada es la llamada función derivada de f, denotada por f′. El proceso de encontrar la derivada de una función se denomina diferenciación, y es una de las herramientas principales en el área de las matemáticas conocida como cálculo infinitesimal.

 Aplicaciones de la derivada en los matemáticos ejercicios:

 Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones siguientes:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

 Calcula los máximos y mínimos de las funciones siguientes:

1.

2.

3.

4.

 Hallar los intervalos de concavidad y convexidad, y los puntos de inflexión de las funciones:

1.

2.

3.

 La cotización de las sesiones de una determinada sociedad, suponiendo que la Bolsa funciona todos los días de un mes de 30 días, responde a la siguiente ley:

C = 0.01x3 − 0.45x2 + 2.43x + 300

1. Determinar las cotizaciones máximas y mínima, así como los días en que ocurrieron, en días distintos del primero y del último.

2. Determinar los períodos de tiempo en el que las acciones subieron o bajaron.

Del 1 al 3, y del 27 al 30 las acciones subieron, y del 3 al 27 bajaron.

 Supongamos que el rendimiento r en % de un alumno en un examen de una hora viene dado por:

r = 300t (1−t).

Donde 0 < t < 1 es el tiempo en horas. Se pide:

1. ¿En qué momentos aumenta o disminuye el rendimiento?

r = 300t − 300t²

r′ = 300 − 600t

300 − 600t = 0 t = ½

2. ¿En qué momentos el rendimiento es nulo?

300t (1−t) = 0 t = 0 t = 1

El rendimiento es nulo al empezar (t = 0) y al acabar el examen (t = 1).

3. ¿Cuándo se obtiene el mayor rendimiento y cuál es?

r″ (t) = − 600

r (½)= 300 (½) − 300 (½)²= 75

Rendimiento máximo: (½, 75)

 Problemas de aplicaciones físicas de la derivada.

 La relación entre la distancia recorrida en metros por un móvil y el tiempo en segundos es e(t) = 6t2. Calcular:

1 la velocidad media entre t = 1 y t = 4.

2 La velocidad instantánea en t = 1.

 Debido a unas pésimas condiciones ambientales, una colonia de un millón de bacterias no comienza su reproducción hasta pasados dos meses. La función que representa la población de la colonia al variar el tiempo (expresado en meses) viene dada por:

Se pide:

1. Verificar que la población es función continua del tiempo.

2. Calcular la tasa de variación media de la población en los intervalos [0, 2] y [0, 4].

3. Calcular la tasa de variación instantánea en t = 4.

 Una población bacteriana tiene un crecimiento dado por la función p(t) = 5000 + 1000t² , siendo t el tiempo metido en horas. Se pide:

1. La velocidad media de crecimiento.

2. La velocidad instantánea de crecimiento.

3. La velocidad de crecimiento instantáneo para t 0 = 10 horas.

 La ecuación de un movimiento circular es: φ(t) = ½t². ¿Cuál es la velocidad y la aceleración angulares al cabo de siete segundos?

ω(t)= φ′(t)= t ω = 7

α(t)= φ′′ (t)= 1 α = 1

 Un observador se encuentra a 2000 m de lanzamiento de la torre de un cohete. Cuando éste despega verticalmente mide la variación del ángulo Φ(t) que forma la línea visual que le une con el cohete y la del suelo horizontal en función del tiempo transcurrido. Sabiendo que Φ'(t) = Π/3, se pide:

1. ¿Cuál es la altura del cohete cuando Φ = Π/3 radianes?

2. ¿Cuál es la velocidad del cohete cuando Φ = Π/3 radianes?

 Se bombea gas a un globo esférico a razón de 6m3/min. Si la presión se mantiene constante. ¿Cuál es la velocidad con la que cambia el radio del globo cuando el diámetro mide 120 cm?

 ¿Cuál es la velocidad que lleva un vehículo se mueve según la ecuación e(t) = 2 − 3t2 en el quinto segundo de su recorrido? El espacio se mide en metros y el tiempo en segundos.

 APLICACIONES DE LAS DERIVADAS EN ECONOMIA

Las derivadas en sus distintas presentaciones ( Interpretación geométrica, Razón de cambio, variación Instantánea, etc.,) son un excelente instrumento en Economía, para toma de desiciones, optimización de resultados ( Máximos y Mínimos).

 FUNCIONES DE OFERTA Y DEMANDA.-

Si x es el número de Unidades de un bien ; siendo; y el Precio de cada unidad entonces las Funciones de Oferta y demanda pueden representarse por:

Y = f (x)

Dónde:, en la práctica x se toma siempre positivo.

Si: f’ > 0 ; la función es de oferta

Si: f < 0; La función es de Demanda.

El punto de intersección de las Funciones de

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