Álgebra de Matrices: Una matriz es un arreglo rectangular de la forma

Segundo semestre de 2014

Material de Apoyo Matemática Intermedia IC

Matemática intermedia I

Álgebra de Matrices

Matriz:

Una matriz es un arreglo rectangular de la forma:

[pic 1]

Donde los aij (i subíndice de la fila, j subíndice de columna), son los escalares en la matriz, (coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales ordenados en sus respectivas posiciones, la matriz anterior se denota por  (aij ) donde los subíndices varían de 1 a n o m, según sea el caso.

Al elemento aij se le llama la componente ij y ocupa la i-ésima fila y la j-ésima columna.

Una matriz con n columnas y m filas se llama m por n y el par de números (m,n) se llama tamaño o forma, por ejemplo si tenemos la matriz:

[pic 2], esta tiene dos filas y tres columnas.

Sus filas son: (2,1,0) y (5,’4,3)

Sus columnas son: [pic 3],[pic 4] y [pic 5]

Las matrices generalmente se designan por letras mayúsculas A, B,...  y sus elementos por letras minúsculas (cuerpo de la matriz).

Decimos que dos matrices son iguales si sus elementos correspondientes son iguales y tienen la misma forma.  Por lo tanto la igualdad de matrices m por n equivale a un sistema de m por n igualdades, una para cada par de elementos, ejemplo:

Operaciones con matrices

Suma de matrices y multiplicación por un escalar

• Dos matrices se pueden sumar si son del mismo tamaño o forma, o sea que tengan el mismo número de filas y columnas.  La suma de A y B representada por C, es la matriz que se obtiene sumando los elementos correspondientes de las matrices A y B

A + B = C

Ejemplo:

Sume las siguientes matrices.

[pic 6], [pic 7]  ⇒  [pic 8] ⇒ [pic 9]

• El producto de un escalar k por una matriz A representado kA es la matriz que se obtiene al multiplicar cada componente de A por k.

Ejemplo:

Encuentre el resultado de: kA si k = 2 y [pic 10]

[pic 11]    ⇒    [pic 12]    ⇒    [pic 13]

Nota:

La suma de matrices de diferente forma o tamaño, no está definida.

Las propiedades básicas de las matrices con operaciones  de suma de matrices y multiplicación por un escalar, son las siguientes.

Sea V el conjunto de todas las matrices m por n sobre un cuerpo K.  Entonces para toda matriz A, B, C ∈ V y todo escalar k1, k2, ∈ K,

1. Asociativa respecto de la suma(  A + B ) + C  = A + ( A + B )
2. Existencia de elemento neutro aditivo A + 0 = A
3. existencia de inverso aditivo A + ( -A ) = 0
4. Conmutativa  A + B = B + A
5. Distributiva de la multiplicación respecto de la suma k( A + B) = kA + kB
6. Distributiva de la suma respecto de la multiplicación ( k1 + k2 )A = k1A+ k2A
7. Asociativa respecto de la multiplicación (k1k2)A = k1(k2A)
8. Existencia de elemento neutro de la multiplicación 1(A) = A

Multiplicación de Matrices

Para encontrar el producto de dos matrices AB, necesitamos que el número de filas de la segunda matriz B, sea igual al número de columnas de la primera matriz (A)

A = (  2×3 )      B = ( 3×2 )[pic 14][pic 15]

[pic 16]

A = ( m×n )     B = ( n×p )[pic 17][pic 18]

[pic 19]

Lo anterior significa que si multiplicamos una matriz A de tamaño m×n por otra matriz B de tamaño n×p, se puede realizar el producto A×B y el resultado será una matriz C de m filas y p columnas. Los elementos de la matriz resultante serán obtenidos de la siguiente forma:

Cij = ai1b1j + ai2b2j + ... + ainbnj

Ejemplo:

Si  [pic 20]  [pic 21]

 AB = C está dado por:

[pic 22][pic 23]=[pic 24]

Matriz identidad

El conjunto de todas las matrices de orden n tiene una identidad multiplicativa, ésta es una matriz única In de orden nn tal que AIn = InA = A para cualquier matriz A de orden nn  y decimos que In es la matriz identidad de orden n.

La matriz identidad es una matriz en la que todos los elementos de la diagonal principal son iguales a uno y los demás son iguales a cero, ejemplo:

[pic 25],               [pic 26],               [pic 27]

Ejemplo:

Verifique que I3 es la matriz multiplicativa de todas las matices cuadradas de orden 3.

Demostración:

Si [pic 28]  y si [pic 29]

  [pic 30][pic 31][pic 32]

[pic 33][pic 34][pic 35]

Matriz Diagonal

Es una matriz cuyos elementos por encima y por debajo de la diagonal principal son iguales a cero, ejemplo:

[pic 36],   [pic 37]

Matriz Triangular

1. Superior

Una matriz triangular superior es aquella en la cual aparecen ceros por debajo de la diagonal principal.

[pic 38]

1. Inferior

Una matriz triangular inferior es aquella en la que aparecen ceros arriba de la diagonal principal.

[pic 39]

Matriz escalonada

Una matriz tiene la forma escalonada cuando:

1. El elemento de la primera fila y primera columna es igual a 1 y aparecen ceros debajo de este.
2. El primer elemento distinto de cero de cada fila después del anterior es 1, con ceros debajo de este y aparece a la derecha del 1 anterior.
3. Todas las filas que solo contienen ceros aparecen en la parte inferior.

Ejemplo, las siguientes matrices tienen la forma escalonada:

[pic 40]              [pic 41]                [pic 42]

Método de eliminación de Gauss para sistemas de ecuaciones

Un sistema de ecuaciones lineales con n incógnitas, es un conjunto de ecuaciones de la forma:

[pic 43]

Un sistema como el anterior, se puede resolver usando el método de Gauss, en el cual están permitidas las siguientes operaciones.

Escribiendo primero, la matriz aumentada del sistema, que es la matriz de coeficientes y de términos independientes del sistema, en sus respectivas posiciones donde una recta vertical, separa los coeficientes de la matriz de los términos independientes, esta matriz queda así:

[pic 44]

[pic 45]

Luego se usan las operaciones permitidas, que son las siguientes.

1. Cualquier fila (cualquier ecuación) del sistema puede multiplicarse por un escalar diferente de cero y sustituirse en la misma fila.
2. La fila j puede multiplicarse por cualquier constante k y sumarse a la fila i, y usar la ecuación resultante en lugar de la ecuación j.
3. Las ecuaciones i y j se pueden intercambiar.

El objeto de hacer uso de las operaciones permitidas es dejar un triangulo de ceros en la parte inferior izquierda de la matriz aumentada, para luego hacer sustitución hacia atrás y determinar los valores de todas las incógnitas.            Entonces los pasos para encontrar la solución de un sistema de ecuaciones usando el método de Gauss son los siguientes:

...