4.2 Subespacios Vectoriales

Conocemos la relación entre conjunto y subconjunto, donde un conjunto es más grande que el subconjunto y éste último está contenido en el conjunto. Lo mismo sucede con los espacios vectoriales. Cuando existan dos espacios vectoriales y uno está contenido dentro de otro, el primero es un subespacio vectorial del segundo. Como ejemplo se vió que R^n es un espacio vectorial con vectores de n componentes (x_1,x_2,⋯,x_n ), y que R^2 también es un espacio vectorial con vectores de 2 componentes (x,y). Luego se vió que el conjunto de puntos en R^2 que están en una recta que pasa por el origen, {(x,y):y=mx }, también es un espacio vectorial con vectores de 2 componentes (x,y). Como R^2 es todo el plano y {(x,y):y=mx } representa todas las rectas que pasan por el origen, entonces {(x,y):y=mx } es un subespacio del espacio vectorial R^2.

DEFINICION 1 Sea H un subconjunto no vacío de un espacio vectorial V y supongamos que H es un espacio vectorial que cumple los 10 axiomas de suma de vectores y multiplicación por un escalar vistas en V. Entonces se dice que H es un subespacio de V.

Existen muchos ejemplos de subespacios, pero veamos un teorema que facilitará el determinar si un subconjunto de V, es un subespacio de V.

TEOREMA 1 Un subconjunto no vacío H de un espacio vectorial V es un subespacio de V si cumple con las dos reglas de cerradura:

Reglas de cerradura para determinar si es subespacio un subconjunto no vacío.

1. Si x ϵ H y y ϵ H, entonces x+y ϵ H.

2. Si x ϵ H, entonces αx ϵ H para todo escalar α.

Demostración: Si H es un subconjunto de V, y V es un espacio vectorial, entonces cualquier vector de H estará en V y el subconjunto H podrá cumplir con los 10 axiomas y será un espacio vectorial siempre y cuando tenga: 0x=0 ϵ H, y el vector –x ϵ H, para todo x ϵ H.

La demostración anterior menciona un hecho de gran importancia que resulta conveniente resaltar:

Todo subespacio H de un espacio vectorial V contiene al vector cero (0). El vector cero de H, es el mismo que existe en V. Si 0 ∉ H,H NO es un subespacio.

Si 0 ϵ H,x ϵ H y y ϵ H,x+y ϵ H y αx ϵ H, H es un subespacio vectorial.

Antes de ver ejemplos de subespacios vectoriales, diremos que existen dos subespacios vectoriales que todos los espacios vectoriales tienen, que son el subespacio trivial H={0}, y el espacio vectorial que es subespacio de sí mismo H=V. Cualquier subespacio que no esté en los dos anteriores recibe el nombre de subespacio propio, ya que cada espacio vectorial tendrá su o sus propio(s) subespacios.

EJEMPLOS DE SUBESPACIOS VECTORIALES.

1.- Cualquier espacio vectorial es un subespacio de sí mismo. Sea cualquier espacio vectorial V, éste será un subespacio H de sí mismo H=V.

2.- El subespacio trivial. Para cualquier espacio vectorial V, el subconjunto {0} que solo tiene el vector cero, es un subespacio ya que 0 ϵ H,x=0 ϵ H y y=0 ϵ H,x+y=0+0=0 ϵ H y α0=0 ϵ H para todo número real α.

En cuanto a los subespacios propios, recordemos que así como un subconjunto es más pequeño que el conjunto, en los subespacios propios pasa lo mismo, así en R^3, existen dos subespacios propios, uno de ellos es las líneas rectas en R^3 que pasan por el origen, el otro es los planos en R^3 que pasan por el origen. En R^2, existe un solo subespacio propio, que es las líneas rectas en R^2 que pasan por el origen. En R, no hay subespacios propios.

3.-Primer subespacio propio de R^3. El conjunto de puntos que están sobre una línea recta que pasa por el origen en R^3.

Sea H={(x,y,z):x=at,y=bt,z=ct;a,b,c,t reales}. Donde x=at,y=bt,z=ct son ecuaciones paramétricas. Se tiene que H corresponde a los vectores en R^3 (porque tiene tres componentes) que están sobre una recta que pasa por el origen, es decir, que tiene al vector cero (x,y,z)=(0,0,0)=0. Comprobemos los dos axiomas de cerradura:

Sea x=(x_1,y_1,z_1 )=(at_1,〖bt〗_1,〖ct〗_1 ) ϵ H y y=(x_2,y_2,z_2 )=(at_2,〖bt〗_2,〖ct〗_2 ) ϵ H,

x+y=(at_1,〖bt〗_1,〖ct〗_1 )+(at_2,〖bt〗_2,〖ct〗_2 )=(at_1+at_2,〖bt〗_1+bt_2,〖ct〗_1+ct_2 )

x+y=[a▭((t_1+t_2 ) ),b▭((t_1+t_2 ) ),c▭((t_1+t_2 ) )] ϵ H, ya que [a▭((t_1+t_2 ) ),b▭((t_1+t_2 ) ),c▭((t_1+t_2 ) )], es el mismo tipo de vector que x=(at_1,〖bt〗_1,〖ct〗_1 ), y y=(at_2,〖bt〗_2,〖ct〗_2 ). Vea que a,b,c, están multiplicados tanto en x,y y x+y, por un mismo valor, t_1,t_2 y (t_1+t_2 ), respectivamente. Los rectángulos no son necesarios, son para hacer énfasis de que dentro de cada uno hay un solo número.

αx=α(at_1,〖bt〗_1,〖ct〗_1 )=(αat_1,α〖bt〗_1,〖αct〗_1 )=(a▭(〖αt〗_1 ),b▭(〖αt〗_1 ),c▭(〖αt〗_1 )) ϵ H, pues (a▭(〖αt〗_1 ),b▭(〖αt〗_1 ),c▭(〖αt〗_1 ))

es el mismo tipo de vector que x=(at_1,〖bt〗_1,〖ct〗_1 ). Vea que a,b,c, están multiplicados tanto en x y αx, por un mismo valor, t_1 y 〖αt〗_1, respectivamente. Los rectángulos no son necesarios, son para hacer énfasis de que dentro de cada uno hay un solo número.

Por tanto H={(x,y,z):x=at,y=bt,z=ct;a,b,c,t reales} es un subespacio de R^3.

4.- Segundo subespacio propio de R^3. El conjunto de puntos que están sobre un plano que pasa por el origen en R^3.

Sea H={(x,y,z):ax+by+cz=0 }. En el ejemplo 12 de espacios vectoriales se vió que H, es un espacio vectorial por cumplir los 10 axiomas. Entonces H es un subespacio de R^3.

5.- El único subespacio propio de R^2. El conjunto de puntos en R^2 que están sobre una recta que pasa por el origen.

Sea H={(x,y):y=mx}. En el ejemplo 11 de espacios vectoriales se vió que H está en R^2 porque tiene dos componentes y como cumple los 10 axiomas es un espacio vectorial. Por otro lado H es un subespacio propio de R^2, y es el único subespacio propio de R^2, ya que no existe otro subespacio propio en R^2.

6.- R no tiene subespacios propios. R es la recta de los números reales. Para que R tenga un subespacio propio se ocupa que exista un espacio vectorial más pequeño que R y que esté contenido en R.

Cuando se vió el ejemplo 1 de espacios vectoriales, se vió que

...