Espacio y subespacios vectoriales

Espacios y subespacios vectoriales

En las unidades anteriores vimos que el álgebra de vectores y el álgebra de matricespresentan similitudes. Pudimos observar que las propiedades de la suma (de vectores o de matrices) y del producto por un escalar son idénticas en ambos conjuntos.

En esta unidad, generalizaremos el concepto de vector a partir de estas propiedades en común que hemos señalado para vectores geométricos y matrices.

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Definición de espacio vectorial

Un espacio vectorial es un conjunto no vacío VV de objetos, llamados vectores, en el que se han definido dos operaciones: la suma y el producto por un escalar (número real) sujetas a los diez axiomas que se dan a continuación. Los axiomas deben ser válidos para todos los vectores uu, vv y ww en VV y todos los escalares αα y ββreales.
Llamamos u+vu+v a la suma de vectores en VV, y αvαv al producto de un número real αα por un vector v∈Vv∈V.
1. u+v∈Vu+v∈V
2. u+v=v+uu+v=v+u
3. (u+v)+w=u+(v+w)(u+v)+w=u+(v+w)
4. Existe un vector nulo 0V∈V0V∈V tal que v+0V=vv+0V=v
5. Para cada vv en VV, existe un opuesto (–v)∈V(–v)∈V tal que v+(–v)=0Vv+(–v)=0V
6. αv∈Vαv∈V
7. α(u+v)=αu+αvα(u+v)=αu+αv
8. (α+β)v=αv+βv(α+β)v=αv+βv
9. α(βv)=(αβ)vα(βv)=(αβ)v
10. 1v=v1v=v

Observación: En la definición anterior, cuando decimos “escalares” nos estamos refiriendo a números reales. En este caso, se dice que VV es un espacio vectorial real.

También es posible que los escalares pertenezcan a otro conjunto numérico, por ejemplo los números complejos con los cuales trabajaremos en la última unidad.

Ejemplo 1

De acuerdo con las propiedades que vimos en la primera unidad, podemos afirmar que R3R3 es un espacio vectorial.

Los espacios RnRn , con n≥1n≥1 , son los ejemplos principales de espacios vectoriales. La intuición geométrica desarrollada para R3R3 nos ayudará a entender y visualizar muchos conceptos de esta unidad.

Los vectores de RnRn son n-uplas de números reales, o sea:

Rn={(x1,x2,…,xn),conxi∈R}Rn={(x1,x2,…,xn),conxi∈R}

En RnRn , la suma de vectores y el producto por un escalar se definen así:

Sean u=(u1,u2,…,un)yv=(v1,v2,…vn)∈Rnu=(u1,u2,…,un)yv=(v1,v2,…vn)∈Rn

u+v=(u1+v1,u2+v2,…,un+vn)∈Rnu+v=(u1+v1,u2+v2,…,un+vn)∈Rn

αv=(αv1,αv2,…,αvn)∈Rnαv=(αv1,αv2,…,αvn)∈Rn

Puede comprobarse que las operaciones definidas verifican los axiomas de espacio vectorial.

Ejemplo 2

De acuerdo con las propiedades enunciadas en la segunda unidad, para cada mm y nn RmxnRmxnes un espacio vectorial.

Tenemos por ejemplo R2×3R2×3, espacio vectorial cuyos vectores son las matrices de 2×32×3.

Ejemplo 3

Llamemos P2P2 al conjunto de polinomios de grado menor o igual que 2, incluyendo el polinomio nulo.

Recordemos la suma de polinomios y la multiplicación por un escalar:

Dados p(x)=ao+a1x+a2x2∈P2p(x)=ao+a1x+a2x2∈P2 y q(x)=bo+b1x+b2x2∈P2q(x)=bo+b1x+b2x2∈P2

Definimos las operaciones:

(p+q)(x)=p(x)+q(x)=(ao+bo)+(a1+b1)x+(a2+b2)x2∈P2(p+q)(x)=p(x)+q(x)=(ao+bo)+(a1+b1)x+(a2+b2)x2∈P2

(αp)(x)=αp(x)=(αao)+(αa1)x+(αa2)x2∈P2(αp)(x)=αp(x)=(αao)+(αa1)x+(αa2)x2∈P2

Puede demostrarse que estas operaciones verifican todos los axiomas de espacio vectorial.

En particular, el vector nulo en este espacio es el polinomio nulo, es decir el polinomio cuyos coeficientes son todos iguales a cero.

Generalizando, para cualquier n≥0n≥0 , el conjunto PnPn de todos los polinomios de grado menor o igual que nn (incluyendo el polinomio nulo) es un espacio vectorial.

Observación:

¿Por qué no definimos PnPn como el conjunto de polinomios de grado exactamente igual a nn? Si lo definiéramos así, no sería un espacio vectorial como se muestra en el siguiente ejemplo:

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