ALGEBRA LINEAL

ALGEBRA LINEAL

1.1.- Definición y origen de los números complejos.-

Un número complejo es un número con la estructura x + iy. Aquí "x" es la parte real del número, "y" es la parte imaginaria del número e "i" significa imaginario. El valor del cuadrado de "i" es igual a −1. El número imaginario "i" es uno de los dos número que cumple con la regla (i) 2 = −1, el otro número es

"-i". Formalmente, escribimos i =√−1. Un número complejo "z" se escribe como:

z = x + iy donde "x" e "y" son números reales. Llamamos a "x" la parte real de "z" y "y" la parte imaginaria y escribimos x = Rez, y = Imz.

Dos números complejos son iguales si y sólo si sus partes reales e imaginarias son iguales. El complejo conjugado de z = x + iy, denotado como ¯z, es definido como ¯Z = x - iy

Existe una gran cantidad de aplicaciones de los números complejos, especialmente en la industria eléctrica donde la misma definición de la fuente de corriente alterna se basa en sí en los números complejos, ya que esta incluye una fase de campo que es un componente angular.

1.2.- Operaciones fundamentales con números complejos.-

La naturaleza de un número complejo contiene los números reales extendidos que resulten necesarios para resolver un problema que sería difícil de resolver utilizando sólo los números reales. Existen una gran variedad de operaciones que pueden realizarse con los números complejos. La suma, resta, división y multiplicación constituyen las operaciones básicas que pueden realizarse con los números complejos.

*Suma: La operación de sumar dos números complejos x + yi e c + di puede expresarse como:

(x + yi) + (c + di) = (x + c) + (y + d) i.

Esto es, es posible observar que las partes correspondientes de los números reales se suman juntos y que se hace lo mismo con la parte imaginaria.

*Resta: La operación de restar dos números complejos x + yi y c + di puede expresarse como:

(x + yi) - (c + di) = (x + c) - (y + d) i.

*Multiplicación: La operación de Multiplicar dos números complejos x + yi e c + di puede expresarse como:

(x + y i) (c + d i) = (x c - y d) + (x + d yc) i.

Sin embargo, esta multiplicación puede realizarse aplicando las propiedades básicas de la Multiplicación de los Números Reales, y recordando la regla básica de los números complejos, esto es, i2 = −1.

*División: La operación de Dividir dos números complejos (8 + 4 i) y (1 - i) puede expresarse como:

(8 + 4 i) / (1 - i).

En primer lugar, multiplicando el numerador y el denominador con el conjugado del denominador de la expresión anterior, obtenemos:

[(8 + 4 i) (1 + i)]

Agrupando y multiplicando los términos semejantes,

[(8 + 4 i) (1 + i)] / [(1 - i) (1 + i)] =

[8 + 4 i + 8 i + 4 i 2] / [1 - i + i - i 2]

= (4 + 12 i) / (2)

= 2 + 6 i

1.3.- Potencia de i, módulo o valor absoluto de los números complejos.-

Por un largo tiempo se pensó que la obtención de la raíz cuadrada de un número negativo era imposible. Una teoría general, que trabajó detrás de esto estableció, que ningún número puede continuar negativo después haberse elevado al cuadrado. Sin embargo, con el descubrimiento de los números complejos, este estudio se detuvo completamente. Ahora es posible obtener la raíz cuadrada de números negativos y, sin embargo esta es seguida de un símbolo ‘i’. Esta “i” representa el término imaginario, porque tal número no existe en la realidad.

Tales números imaginarios pueden tener formas exponenciales. De hecho varias operaciones realizadas con los números reales también pueden realizarse en el caso de los números imaginarios. La potencia de los números imaginarios es simplemente una forma única de la operación de multiplicación. Antes de realizar algo con ella, se asume que el valor de i2 es igual a −1. Esto se puede tomar como un hecho universal de las matemáticas. Todos los otros valores de exponente de i son determinados a partir de este valor global.

A través de esta afirmación, el valor de i3 se convierte en i2 x i. Esto nos produce −1 x i, por lo tanto, obtenemos el valor de i3 como -i. Del mismo modo, el valor de i4 puede obtenerse mediante la ruptura de términos como i¬2 x i2. Por lo tanto, tenemos −1 x −1 y por ello, el valor de i4 viene siendo 1. De esta manera, cualquier valor de la potencia de i puede determinarse rompiendo términos primarios, cuyos valores ya conocemos y su multiplicación, nos ofrecerá el valor deseado. A continuación damos la tabla de las numerosas potencias de i.

i1 = i i2 = −1 i3 = -i i4 = 1 i5 = i i6 = −1 i7 = -i i8 = 1

El módulo o valor absoluto es un concepto esencial de las matemáticas, ya sea respecto a los números reales o complejos. Ya sabemos que el módulo de un número es siempre el número mismo removiéndole su signo de magnitud. Es decir, si el número es positivo, entonces su módulo nos da, de nuevo el mismo número, pero si el número dado es negativo, entonces su módulo sería, la forma positiva de ese número.

En el caso de los números complejos, el valor absoluto se define como la distancia calculada del número complejo desde su origen en un plano complejo. Este concepto es similar al de los números reales con la diferencia, que en lugar de plano complejo tomamos la recta numérica para calcular la distancia del número desde el origen, esto es cero.

Observando el diagrama de arriba debería aclararse todo el concepto anterior del cálculo del módulo del número complejo. Con la simple aplicación del teorema de Pitágoras en el plano complejo, donde la hipotenusa es la distancia del número desde el origen y la parte de la base real del número complejo, mientras que la altura es la parte imaginaria del número complejo.

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