Algebra Lineal

GUIA Nº 1 ALGEBRA VECTORIAL 3º MEDIOS DIFERENCIADOS

VECTORES

VECTORES FIJOS

Un vector fijo del plano es un segmento cuyos extremos están dados en un cierto orden (se suele decir que es un segmento orientado). Se representa porAB, siendo los extremos A y B

A un segmento AB le corresponden dos vectores fijos distintos: AB yAB.

Se considera como caso singular el vector fijo definido por un segmento cuyos extremos coinciden. En este caso el vector fijo se reduce a un solo punto.

Los puntos en los que empieza y termina un vector se llaman origen y extremo, respectivamente.

Módulo, dirección y sentido de un vector fijo

- En un vector fijo se llama módulo del mismo a la longitud del segmento que lo define.

El módulo de un vector fijo AB se representa por |AB| y se leerá «módulo de AB ».

- Se dice que un vector fijo tiene la misma dirección que otro si los segmentos que los definen pertenecen a rectas paralelas.

- Dados dos vectores fijos AB y CD del plano que tengan la misma dirección, se dice que tienen el mismo sentido si los segmentos AD y BC (los segmentos que unen el origen de cada uno con el extremo del otro) tienen un punto en común. En otro caso se dice que los dos vectores tienen sentido contrario o sentido opuesto.

También se puede decir que dos vectores de la misma dirección tienen el mismo sentido si la recta definida por sus orígenes deja a los extremos en el mismo semiplano.

Estas dos definiciones son válidas en el caso en que los dos vectores se encuentren en distinta recta. Si los dos vectores se encontrasen en la misma recta, se buscaría un vector fijo en una recta paralela que tuviese el mismo sentido que ambos. Si lo hubiese, se diría que los dos vectores tienen el mismo sentido. En otro caso se diría que los dos vectores tienen sentido contrario.

Vectores equipolentes

Se dice que dos vectores son equipolentes si tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido.

Si AB y CD son equipolentes, el cuadrilátero ABCD es un paralelogramo.

VECTORES LIBRES DEL PLANO

Un vector libre es el conjunto de todos los vectores fijos del plano que son equipolentes a uno dado.

Como todos los vectores fijos del plano consistentes en un solo punto son equipolentes, definen un único vector libre, que recibirá el nombre de vector cero, r

Representantes de un vector libre

A uno cualquiera de los vectores que constituyen un vector libre se le denomina representante del vector libre.

Para representar un vector libre se escribe uno cualquiera de sus representantes, o bien se escribe una letra con una flecha encima.

Resultado fundamental

Dados un punto P y un vector libre del plano,a, existe un único representante de a con origen en P. Igualmente se puede encontrar un único representante de a con extremo en el punto P.

Demostración:

Para construir un representante de a con origen en P se traza una recta paralela al vector a que contenga al punto P.

En ella, desde P, y con el mismo sentido que a, se mide una distancia igual al módulo de a, |a|, obteniéndose un punto Q. El vector fijoPQ es un representante de a.

Para hallar un representante de a con extremo en P, se mide la distancia |a| en sentido contrario, obteniendo el punto Q´. El representante de a es, en este caso, el vector fijoQ´P.

SUMA DE VECTORES

Dados dos vectores libres del plano a yb, se define su suma como el vector libre construido así:

- Se elige un punto arbitrario del plano, O.

- Con origen en O se busca un representante del vector a. Se llamará P a su extremo.

- Con origen en P se busca el vector PQ, representante deb.

- El vector suma a +b viene representado por el vector fijo, OQ (se une el origen del representante de a con el extremo del representante de b).

Propiedades de la suma de vectores

Conmutativa: Dados dos vectores del plano a yb, a +b = b + a.

Asociativa: Dados tres vectores a yb yc del plano, (a +b) +c = a + (b +c).

Elemento neutro: Dado a, un vector cualquiera del plano, a +0 = 0 + a = a.

Es decir, el vector 0 es el elemento neutro de la operación suma de vectores libres del plano.

Demostración:

Recuérdese que 0 es el vector del plano formado por todos los vectores fijos cuyo origen coincide con el extremo.

Se elige un punto fijo del plano, O, y con origen en O se busca el vector OP representante de a.

Los vectores OO y PP son representantes del vector 0.

Así se tiene:

a +0 = OP + PP = OP = a y0 + a = a

Elemento simétrico: Dado un vector a del plano, existe otro vector - a, tal que,

a + (- a) = (- a) + a = 0. El vector - a recibe el nombre de simétrico u opuesto de a.

Demostración:

Bastará con demostrar una de las dos igualdades:

Sea PQ un representante de a. Considérese el vector - a = QP.

a + (- a) = PQ + QP = PP = 0 y (- a) + a = 0

Como consecuencia de todas las propiedades vistas se dice que el conjunto de los vectores fijos del plano, junto con la suma de vectores, constituye un grupo conmutativo.

Observaciones:

1. Dado un vector a, su opuesto - a tiene el mismo módulo, la misma dirección y sentido contrario al de a, Basta con ver la construcción de - a.

2. Dados dos vectores a yb, existe un único vectorx que verifica a = x +b.

Si existe tal vector, sería: a = b +x Þ (- b) + a = (-b) + (b +x)

Por la propiedad asociativa, (-b) + (b +x) = [ (-b) +b] +x = 0 +x = x

Así, el único vector que puede verificar tal propiedad es el vectorx = (-b) + a.

Falta ver que efectivamente la verifica:

b +x = b + [ (-b) + a] = [b + (- b)] + a = 0 + a = a, que es la igualdad buscada.

El vector (-b) + a recibe el nombre de diferencia entre los vectores a yb, y suele representarse por a -b.

PRODUCTO DE VECTOR POR NUMERO REAL

Sean a un vector del plano y r un número real. Se define el producto r · a de la siguiente forma:

a) Si r = 0 ó a = 0, el producto es r· a = 0

b) El caso contrario, es decir, si a ≠ 0 y r ≠ 0, se define:

- El módulo de r · a es | r· a| = |r|.|a|, donde | r| es el valor absoluto de r.

- La dirección de r · a es la misma que la de a.

- El sentido de r · a es el mismo que el de a si r es positivo, y contrario si r es negativo.

Obsérvese que el producto de un vector por un número sólo puede ser nulo en el caso de serlo alguno de ellos. En dichos casos las propiedades son de comprobación inmediata, por lo que, en lo que sigue, se supondrá que tanto el número como el vector son no nulos.

Primeras propiedades del producto de números por vectores

1 . Dado un vector a se verifica que 1· a = a.

Demostración:

En efecto, |1· a | = |1| | a| = | a|

Por definición 1· atiene la misma direción que a.

Como 1 es positivo, el sentido de 1· aes el de a.

Por tener el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido,los vectores libres a y 1· a coinciden.

2. Para cualquier vector a, se verifica que (-1)· a = - a

Demostración:

Para verlo conviene recordar que - atiene el mismo módulo, la misma dirección y sentido contrario al de a. Si se concluye que (-1)· a cumple esas tres condiciones, se tendrá la propiedad dada.

|(-1)· a| = |-1| | a| = 1| a| = | a|

La dirección de (-1)· aes la de a.

El sentido de (-1)· aes opuesto al de a, porque -1 es negativo.

Así pues (-1)· atiene módulo, dirección y sentido iguales a los de - a. Por tanto:

(-1)· a= - a.

3. Sean a y b dos vectores no nulos. Entonces:

Si a y b tienen la misma dirección, existe un número r tal que a = r · b; y res positivo si a y b tienen el mismo sentido, y negativo en caso contrario.

Además, de a = r.b, se deduce que |a| = |r|.|b| Þ |r| = |a|/|b|

A partir de ahora, para diferenciar números de vectores, a los primeros se les llamará, a menudo, escalares.

Otras propiedades del producto de escalares por vectores

1. Dados dos números reales r y s, y un vector a se tiene:

(r.s) a = r (s. a)

(Debido al extraordinario parecido que tiene esta propiedad con la propiedad asociativa del producto de números, a veces se la denomina propiedad asociativa.)

2. Propiedad distributiva del producto respecto de la suma de escalares

Dados dos números r y s y un vector a, se cumple la igualdad:

(r + s) a = r a + s a

Demostración:

Se hará únicamente en el caso r, s > 0. Para comprobarlo en los demás casos, bastará con hacer pequeñas modificaciones teniendo en cuenta los sentidos de los vectores.

Los vectores r a y s a tienen la misma dirección y el mismo sentido. Al sumarlos se suman los módulos y se mantienen la dirección y el sentido.

Así pues, | r a + s a| = | r a| + | s a| = r| a| + s| a|

Pero |(r + s) a| = (r + s)| a| = r| a| + s| a|

Luego ambos vectores tienen el mismo módulo.

La dirección y el sentido de ambos coinciden con los de a.

Por tener iguales el módulo, la dirección y el sentido ambos vectores libres son iguales.

3. Propiedad distributiva del

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