ANALISIS VECTORIAL DEFINICION

[pic 1][pic 2]

VECTORES

2.1. DEFINICION:

Un vector es un segmento de recta orientado.

Un vector se caracteriza por:
1) su módulo, que es la longitud del segmento.
2) su dirección, que viene dada por la recta que pasa por él o cualquier recta   paralela.
3) su sentido, que es uno de los dos sentidos posibles sobre la recta que pasa por él.

[pic 3]

FIG. 01 UN VECTOR, SEGMENTO DE RECTA DIRIGIDO

Un vector no tiene una ubicación definida; puede trasladarse a cualquier lugar del plano sin modificar ni su módulo, ni su orientación (dirección y sentido). Por esta razón se dice que los vectores son libres.

Los vectores se expresan con una letra minúscula o con dos letras mayúsculas, su origen y su extremo respectivos. Por ejemplo, [pic 4]indica el vector que tiene origen en el punto P y extremo en el punto Q.

Siempre que sea posible, pondremos una flecha encima para indicar que se trata de un vector.

Los vectores sirven para representar magnitudes geométricas y físicas que tienen módulo, dirección y sentido, como traslaciones, velocidades y fuerzas.

[pic 5]

FIG. O2. VECTOR DIRIGIDO

2.1.2. VECTOR NULO:

Si [pic 6]y [pic 7], entonces [pic 8].

Es decir:  [pic 9]

Si sumamos un vector con su opuesto obtenemos un vector reducido a un punto (su origen y extremo coinciden); se trata del vector nulo o vector cero que se expresa[pic 10]:
                                                         [pic 11]+ (-[pic 12]) = [pic 13]

[pic 14]

FIG. 03,  VECTOR NULO

2.2. OPERACION CON VECTORES:

2.2.1. SUMA DE VECTORES:

La suma de dos vectores [pic 15]y [pic 16]es otro vector [pic 17]obtenido de esta forma:

1. Ponemos [pic 18]a continuación de [pic 19], haciendo coincidir el origen de [pic 20]con el extremo de [pic 21].
2. El origen de la suma [pic 22]es el origen de [pic 23].
3. El extremo de la suma [pic 24]es el extremo de [pic 25].

Es decir, [pic 26]es el vector que va desde el origen de [pic 27]hasta el extremo de [pic 28]cuando hemos puesto [pic 29]a continuación de [pic 30].

[pic 31]

FIG. 04 SUMA DE DOS VECTORES[pic 32], [pic 33]

2.2.2. REGLA DEL PARALELOGRAMO

Si para sumar dos vectores,[pic 34] y [pic 35], en lugar de colocar [pic 36]a continuación de [pic 37]colocamos [pic 38]a continuación de [pic 39], tal como está hecho en la parte inferior de la figura de la derecha, observamos que el resultado es el mismo vector.

Esta construcción muestra que la suma de dos vectores es conmutativa:
                                            [pic 40]+[pic 41] = [pic 42]+[pic 43]

Esta propiedad conmutativa permite realizar la suma de dos vectores utilizando la llamada REGLA DEL PARALELOGRAMO:

1. Dibujamos los dos vectores [pic 44]y [pic 45]con el mismo origen
2. Completamos un paralelogramo trazando:

   - por el extremo del vector [pic 46]un segmento de recta paralelo al vector [pic 47].
   - por el extremo del vector [pic 48]un segmento de recta paralelo al vector [pic 49].

3) La suma de los dos vectores es la diagonal orientada del paralelogramo obtenido   i que tiene su origen en el origen común de los dos vectores [pic 50]y [pic 51].

[pic 52]

FIG. 05 SUMA DE VECTORES

[pic 53]

FIG. 06 REGLA DEL PARALELOGRAMO

2.2.3. PROPIEDADES DE LA SUMA DE VECTORES:

2.2.3.1. ASOCIATIVAD DE LA SUMA EN VECTORES

Si pretendemos sumar tres vectores,[pic 54], [pic 55]y [pic 56], tenemos dos posibilidades:

1) Sumar[pic 57]y[pic 58], y al resultado sumarle[pic 59]. Esta operación se expresa
    ([pic 60]+[pic 61]) +[pic 62].

2) Sumar[pic 63]con el resultado de sumar [pic 64]y[pic 65]. Esta operación se expresa: [pic 66]+ ([pic 67]+[pic 68]).

La figura de la derecha muestra que el resultado es el mismo, es decir
                              ([pic 69]+[pic 70]) +[pic 71] = [pic 72]+ ([pic 73]+[pic 74])

Esta es la propiedad ASOCIATIVA de la suma de vectores. Gracias a esta propiedad podemos escribir [pic 75]+[pic 76]+[pic 77] en lugar de ([pic 78]+[pic 79]) +[pic 80], o de
[pic 81]+ ([pic 82]+[pic 83]).

[pic 84]

FIG. 07 PROPIEDAD ASOCIATIVA DE LA SUMA EN VECTORES

2.2.3.2. CONMUTATIVIDAD DE LA SUMA EN VECTORES:

En la sección anterior vimos que podemos escribir [pic 85]+[pic 86]+[pic 87] en lugar de ([pic 88]+[pic 89]) +[pic 90] o de [pic 91]+ ([pic 92]+[pic 93]). Combinando la asociatividad con la conmutatividad, podemos escribir:

[pic 94]+[pic 95]+[pic 96] = [pic 97]+[pic 98]+[pic 99] = [pic 100]+[pic 101]+[pic 102] = [pic 103]+[pic 104]+[pic 105] = [pic 106]+[pic 107]+[pic 108]= ...

Es decir, podemos sumar tres vectores colocándolos en el orden que queramos; siempre obtendremos el mismo resultado.

También podemos aplicar la conmutatividad a la suma de más de tres vectores:

[pic 109]+[pic 110]+[pic 111]+[pic 112]+[pic 113] = [pic 114]+[pic 115]+[pic 116]+[pic 117]+[pic 118] = [pic 119]+[pic 120]+[pic 121]+[pic 122]+[pic 123] = ...

[pic 124]

FIG. 08. SUMA DE VARIOS VECTORES

2.2.3.3. DISTRIBUTIVIDAD DE LA SUMA EN VECTORES:

Cuando se multiplica un escalar m por la suma de dos vectores[pic 125]y[pic 126] se obtiene el mismo resultado que si se multiplican[pic 127]y[pic 128]por m, y luego se suma el resultado. Es decir, m ([pic 129]+[pic 130]) = m[pic 131]+ m[pic 132] 

...