ANTIDERIVADA

COMPETENCIA: Desarrollar la capacidad para calcular límites, derivadas e integrales para expresiones algebraicas, logarítmicas, exponenciales y trigonométricas; y sus aplicaciones en diverso modelos matemáticos.

INTRODUCCIÓN

Función primitiva y función derivada

Si se decide encontrar una función cuya derivada es . Por lo que se conoce de derivadas, se puede afirmar que por que (La función es una Antiderivada de ).

Definición de una Antiderivada o primitiva.

Se dice que una función es una Antiderivada o primitiva de , en un intervalo si para todo en .

Hay que hacer notar que es una Antiderivada de , en lugar de la Antiderivada de . Para comprender el por qué, se debe observar lo que sigue:

, son todas antiderivadas de . De hecho, para cualquier constante , la función dada por es una Antiderivada de .

Notación para antiderivadas o primitivas

Cuando se resuelve una ecuación diferencial de la forma es conveniente escribirla en su forma equivalente .

La operación para determinar todas las soluciones de esta ecuación se llama “antiderivación” (o integración indefinida) y se denota mediante el signo integral . La solución general se denota por medio de

Constante de integración

Integrando Variable de integración

La expresión se lee como la “Antiderivada o primitiva de con respecto a . De tal forma, la diferencial sirve para identificar la variable de integración. El término integral indefinida es sinónimo de Antiderivada.

REGLAS BÁSICAS DE INTEGRACIÓN

Integral de una constante

La integral de una constante es igual a la constante por x.

Ejemplo

Integral de cero

Integral de x

Si la función a integrar es x, las fórmulas de integración son:

Ejemplos

Integral de una potencia

Ejemplos

Integral exponencial

Ejemplos

Integral de logaritmo neperiano

Ejemplos

La naturaleza inversa de la integración y la derivación puede verificarse sustituyendo en la definición de integración indefinida para obtener

(La integración es la inversa de la derivación)

Además, si , entonces

(La derivación es la inversa de la integración)

Estas dos ecuaciones permiten obtener directamente fórmulas de integración a partir de las fórmulas de derivación.

Ejemplo 1. Aplicación de las reglas básicas de integración.

Describir las antiderivadas o primitivas de .

Solución…

Ejemplo 2. Reescribir antes de integrar.

Integral Original Reescribir Integrar Simplificar

Comprobación….

Ejemplo 3. Integración de funciones Integrar:

Solución…

TEMA: APLICACIONES DE LA ANTIDERIVADA O PRIMITIVA

Ejercicios propuestos

1. De las infinitas funciones primitivas de la función ; ¿cuál es la que para , toma el

...