Antiderivada

1.1 Antiderivada

es una antiderivada de si .

Si es una antiderivada de , entonces se le llama la antiderivada más general de , siendo C cualquier constante.

Si la antiderivada de f(x) es F(x) + C, esto se representa como:

∫▒〖f(x)dx=F(x)+C〗

En donde:

∫Se llama antiderivada, integral indefinida o primitiva.

f(x) Se llama integrando

C Se llama constante de integración

dx Se llama diferencial de x e indica cuál es la variable de integración

Reglas básicas de integración

1. ∫▒〖dx=x+C〗 C es una constante

2. ∫▒〖Kdx=Kx+C〗K es una constante

3. ∫▒K f(x)dx=K∫▒f (x)dx

4. ∫▒〖[f(x)±g(x) ]dx= ∫▒f(x)dx ± ∫▒g(x)dx〗

5. ∫▒〖x^n dx= x^(n+1)/(n+1)+C ,n≠-1〗

Nota: Los resultados se deben expresar sin exponentes negativos y sin fracciones en el denominador.

Ejemplo 1: Encuentra la antiderivada más general para la función:f(x)=∜(x^5 )

f(x) = ∜(x^5 )= x^(5/4)

F(x) = x^(5/4+1)/(5/4+1)+C= x^(9/4)/(9/4)+C= 4/9 x^(9/4)+C

Ejemplo 2: A continuación se resolverán integrales indefinidas usando o aplicando solamente las reglas básicas de integración.

a)∫▒〖dw=w+C〗Aplicando la regla No. 1

b)∫▒〖5 dy=5y+C〗Aplicando la regla No. 2

c)∫▒〖x^3 dx= x^(3+1)/(3+1)+C= 1/4 x^4+C〗Aplicando la regla No. 5

d)∫▒〖dx/x^3 = ∫▒〖x^(-3) dx= x^(-3+1)/(-3+1)+C= x^(-2)/(-2)+C=(-1)/(2x^2 )〗〗+CAplicando la regla No. 5

e)∫▒〖∛(x^2 ) dx= ∫▒〖x^(2/3) dx= x^(2/3+1)/(2/3+1)+C=x^(5/3)/(5/3)〗〗+C=3/5 x^(5/3)+C Aplicando la regla No.5

f)∫▒〖5x^4 dx=5∫▒〖x^4 dx〗〗Aplicando la regla No. 3

=5(x^(4+1)/(4+1)+C_1 )=5(x^5/5)+5C_1Aplicando la regla No. 5

=x^5+C Haciendo 5C1 = C

g)∫▒〖dx/(4√x) dx= 1/4 ∫▒〖x^(-1/2) dx〗〗Aplicando la regla No. 3

=1/4 (x^(-1/2+1)/((-1)/2+1))+C=1/4 (x^(1/2)/(1/2))+CAplicando la regla No. 5

=1/4 (2x^(1/2) )+C= 1/2 x^(1/2)+C= 1/2 √x+ C Simplificando

h)∫▒〖(3x^2+5x-2)dx= ∫▒〖3x^2 dx+∫▒〖5xdx-∫▒2dx〗〗〗Aplicando la regla No.4

=3∫▒〖x^2 dx+5∫▒〖xdx-2∫▒dx〗〗Aplicando la regla No. 3

=3[(x^(2+1)/(2+1))+C_1 ]+5[(x^(1+1)/(1+1))+C_2 ]-2x+C_3 Aplicando las

reglas No. 5 y No.2 y como 3C1 + 5C2 + C3 = C, resulta:

=3(x^3/3)+5(x^2/2)-2x+C Simplificando

〖=x〗^3+5/2 x^2-2x+C

Observa que en los siguientes ejemplos primero se realiza la operación algebraica para simplificar el integrando y después se aplican las reglas básicas de integración.

i)∫▒〖(2y-1)(3y+2)dy= ∫▒(6y^2+y-2)dy〗 Multiplicando los binomios

=∫▒〖6y^2 dy+∫▒〖ydy-∫▒2dy〗〗

=6∫▒〖y^2 dy+∫▒〖ydy-2∫▒dy〗〗

=6(y^(2+1)/(2+1))+y^(1+1)/(1+1)-2y+C

=6(y^3/3)+y^2/2-2y+C

=2y^3+1/2 y^2-2y+C

j)∫▒〖(x^2-3)^2 dx= ∫▒(x^4-6x^2+9) 〗 dx Desarrollando el binomio al cuadrado

=∫▒〖x^4 dx-∫▒〖6x^2 dx+∫▒9dx〗〗

=∫▒〖x^4 dx-6∫▒〖x^2 dx+9∫▒dx〗〗

=x^(4+1)/(4+1)-6(x^(2+1)/(2+1))+9x+C

=x^5/5-6(x^3/3)+9x+C

=1/5 x^5-2x^3+9x+C

k)∫▒((x^2-25)/(x-5)) dx= ∫▒[((x+5)(x-5))/((x-5))] dx=∫▒(x+5)dx Simplificando la fracción

=∫▒x dx+∫▒5dx=∫▒〖xdx+5∫▒dx〗

=x^(1+1)/(1+1)+5x+C=1/2 x^2+5x+C

l)∫▒((2z+4)/√z) dz=∫▒〖z^(-1/2) (2z+4)dz=∫▒〖(2z^(1/2)+4z^(-1/2))dz〗〗Simplificando la fracción

=∫▒〖2z^(1/2) dz+∫▒〖4z^(-1/2) dz〗〗

=2∫▒〖z^(1/2) dz+4∫▒〖z^(-1/2) dz〗〗

=2(z^(1/2+1)/(1/2+1))+4(z^(-1/2+1)/((-1)/2+1))+C

=2(z^(3/2)/(3/2))+4(z^(1/2)/(1/2))+C

=2(2/3 z^(3/2) )+4(2z^(1/2) )+C

=4/3 z^(3/2)+8z^(1/2)+C

Ejemplo 3: Crecimiento de población.

La tasa de crecimiento dP/dt de una población de bacterias es proporcional a la raíz cuadrada de t, donde P es el tamaño de la población y t es el tiempo en días (0≤t≤10). El tamaño inicial de la población es de 250 bacterias. Después de 4 días la población ha crecido hasta 400 bacterias. Estimar el tamaño de la población después de 9 días.

Solución:

Primero se establece la ecuación que representa la tasa de crecimiento de la población de bacterias, esto es:

dP/dt=K√t

Analizando las condiciones iniciales, resulta que:

Para t=0;P=250

Para t=4;P= 400

Para t=9;P= ?

Despejando dP de la tasa de crecimiento e integrando ambos lados de la ecuación

∫▒〖dP= ∫▒〖K√t dt〗〗; resulta:

P(t)= 2/3 K〖 t〗^(3/2)+C

Se consideran las condiciones iniciales para encontrar los valores de las constantes (K y C), es decir:

a) Si para t=0;P=250 y sustituyendo en la ecuación, resulta que C = 250, entonces la ecuación toma la forma de:

P(t)= 2/3 K t^(3/2)+ 250

b) Si para t=4;P=400 y sustituyendo en la ecuación anterior, resulta que:

K= 225/8

Sustituyendo los valores de las constantes encontrados, la ecuación que representa el crecimiento de la población de bacterias es:

P(t)= 75/4 t^(3/2)+ 250

c) Para t = 9

P(9)= 75/4 (9)^(3/2)+ 250= 3025/4≈756 bacterias

Ejemplo 4: Movimiento vertical.

Una pelota de beisbol es lanzada hacia arriba desde una altura de un metro con una velocidad inicial de 10 metros por segundo. Determinar la altura máxima alcanzada.

Solución:

Por definición: a= dV/dt y V= dS/dt

Condiciones iniciales:

Para t = 0; S = 1; V(0) = 10 m/s

Smax= ?

Utilizando – 9.8 m/s^2como la aceleración de la gravedad, se tiene que:

dV/dt= -9.8y despejando dV resulta

dV= -9.8 dt, integrando ambos lados de la ecuación

V= -9.8 t+C

Considerando las condiciones iniciales para t = 0; V = 10, entonces C = 10 y la ecuación de velocidad toma la forma de:

V= -9.8 t+10

Cuando la pelota alcanza su altura

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