ANTIDERIVADA

Antiderivada

Una antiderivada de una función f(x) es una función cuya derivada es f(x).

Ejemplos

• Pues la derivada de x2+4 es 2x, una antiderivada de 2x es x2+4.

• Pues la derivada de x2+30 es 2x también, una otra antiderivada de 2x es x2+30.

• En forma parecida, una otra antiderivada de 2x es x2-49.

• En forma parecida, una otra antiderivada de 2x es x2 + C, donde C es cualquier constante (positiva, negativa, o cero)

In fact:

Cada antiderivada de 2x tiene la forma x2 + C, donde C es constante.

P Pues la derivada de x4+C es 4x3,

Integral indefinida

Llamamos al conjunto de todas antiderivadas de una función la integral indefinida de la función. Escribimos la integral indefinida de la función f como

f(x) dx

y la leemos como "la integral indefinida de f(x) respecto a x" Por lo tanto,

f(x) dx es una conjunto de funciones; no es una función sola, ni un número. La función f que se está integrando se llama el integrando, y la variable x se llama la variable de integración.

Ejemplos

2x dx = x2 + C La intgegral indefinida de 2x respecto a x es x2 + C

4x3 dx = x4 + C La integral indefinida de 4x3 respecto a x es x4 + C

Leyendo la formula

Leemos la primera formula más arriba como sigue:

2x dx = x2 + C

La antiderivada de 2x, respecto a x, es igual a x2 + C

La constante de integración, C, nos recuerda que podemos añadir cualquiera constante y así obtener una otra antiderivada.

Integral indefinida

Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función.

Se representa por ∫ f(x) dx.

Se lee : integral de f de x diferencial de x.

∫ es el signo de integración.

f(x) es el integrando o función a integrar.

dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.

C es la constante de integración y puede tomar cualquier valor numérico real.

Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que:

∫ f(x) dx = F(x) + C

Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar.

Propiedades de la integral indefinida

1. La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas funciones.

∫[f(x) + g(x)] dx =∫ f(x) dx +∫ g(x) dx

2. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

∫ k f(x) dx = k ∫f(x) dx

generalidades del calculo integral

GENERALIDADES DEL CALCULO INTEGRAL

Los problemas a los que se refiere el cálculo integral, dependen de la función inversa del cálculo diferencial.

Lo que en otras palabras, dada la diferencial de una función, hallar la función.

La función f (x) se llama integral al proceso de encontrarla se le llama integración.

S es el signo con el que se expresa una diferencial. Históricamente este signo es una s deformada letra inicial de la palabra suma.

Debe hacerse hincapié en que en el hecho de que, según las explicaciones anteriores:

La diferenciación y la integración son operaciones inversas.

De la expresión S 3x2 dx = x3 + C

La constante de una integración se llama también constante arbitraria se expresa con la letra C y es una cantidad independiente de la variable de integración. Puesto que podemos dar a C los valores que queramos, se sigue que si una expresión diferencial dada tiene una integral, tiene también una infinidad de integrales que difieren solo en constantes.

Entonces tenemos:

S 3 (x) dx =

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