Antiderivadas

Antiderivadas

Dada una función f, encontrar una función cuya derivada sea la f dada.

Esto es, para una función dada f, se desea encontrar otra función F para la cual F’(x) = f(x) para todo x en cierto intervalo.

Se dice que una función F es una antiderivada de una función f si F’(x) = f(x) en algún intervalo.

Siempre hay más de una antiderivada de una función. En el caso del ejemplo pasado, F_1= x^2-1 y F_2= x^2+10 son también antiderivadas de f(x) = 2x, puesto que 〖F'〗_1= 〖F'〗_2= f(x). En efecto, si F es una antiderivada de una función f entonces G(x) = F(x) + C, también lo es para cualquier constante C.

G’(x) = d/dx (F(x) + C) = F’(x) + 0 = f(x)

Entonces F(x) + C representa un conjunto de funciones del cual cada miembro tiene una derivada igual a f(x). Se demostrara que cualquier antiderivada de f debe ser de la forma G(x) = F(x) + C; esto es, dos antiderivadas de la misma función pueden diferir cuando mucho en una constante. Por consiguiente F(x) + C es la derivada mas general de f(x).

Si G’(x) = F’(x) para todo x en algún intervalo [a, b] entonces G(x) = F(x) + C, para todo x en el intervalo.

Notación de la integral indefinida

Si F’(x) = f(x), la antiderivada más general de f se representa mediante:

∫▒〖f(x)dx=F(x)+C〗

Al símbolo ∫▒se le llama símbolo de la integral y a la notación ∫▒f(x)dx se le llama integral indefinida de f(x) con respecto a x. La función f(x) se denomina integrando. El proceso de encontrar una antiderivada recibe el nombre de antidiferenciación o integración. Al número C se le llama constante de integración. Así como d/dx( ) denota diferenciación con respecto a x, el símbolo ∫▒( )dx denota integración con respecto a x.

Antiderivadas

Dada una función f, encontrar una función cuya derivada sea la f dada.

Esto es, para una función dada f, se desea encontrar otra función F para la cual F’(x) = f(x) para todo x en cierto intervalo.

Se dice que una función F es una antiderivada de una función f si F’(x) = f(x) en algún intervalo.

Siempre hay más de una antiderivada de una función. En el caso del ejemplo pasado, F_1= x^2-1 y F_2= x^2+10 son también antiderivadas de f(x) = 2x, puesto que 〖F'〗_1= 〖F'〗_2= f(x). En efecto, si F es una antiderivada de una función f entonces G(x) = F(x) + C, también lo es para cualquier constante C.

G’(x) = d/dx (F(x) + C) = F’(x) + 0 = f(x)

Entonces F(x) + C representa un conjunto de funciones del cual cada miembro tiene una derivada igual a f(x). Se demostrara que cualquier antiderivada de f debe ser de la forma G(x) = F(x) + C; esto es, dos antiderivadas de la misma función pueden diferir cuando mucho en una constante. Por consiguiente F(x) + C es la derivada mas general de f(x).

Si G’(x) = F’(x) para todo x en algún intervalo [a, b] entonces G(x) = F(x) + C, para todo x en el intervalo.

Notación de la integral indefinida

Si F’(x) = f(x), la antiderivada más general de f se representa mediante:

∫▒〖f(x)dx=F(x)+C〗

Al símbolo ∫▒se le llama símbolo de la integral y a la notación ∫▒f(x)dx se le llama integral indefinida de f(x) con respecto a x. La función f(x) se denomina integrando. El proceso de encontrar una antiderivada recibe el nombre de antidiferenciación o integración. Al número C se le llama constante de integración. Así como d/dx( ) denota diferenciación con respecto a x, el símbolo ∫▒( )dx denota integración con respecto a x.

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