Actividad 7. Practicando la deducción matemática

Desarrollo de la práctica:

1. Lean  el siguiente problema:
   
   Es famoso el problema que Gauss resolvió con un par de multiplicaciones, cuando su maestro le pidió sumar del uno al cien. El gran niño-matemático se dio cuenta que toda la suma se daba como dos productos: el número final de la serie por el número siguiente divididos entre dos.

1. Demuestren inductivamente que esto sucede en los primeros diez números.
   
   Es decir:
   
   1+2 = 3 (el número final de la serie multiplicado por el siguiente y dividido entre dos es igual 3).
   1+2+3=6 (el número final de la serie multiplicado por el siguiente y dividido entre dos es igual 6).
   1+2+3+4= 10
   1 + 2 +3 +4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = ¿?
2. Solamente hay que seguir los pasos para comprobar que con este método es  rápido y el resultado es verídico.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 = (5 * 6) / 2 = 15  

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = (6 * 7)/2 = 21                                                                                                  

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = (7 * 8)/2 = 28

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = (8 * 9)/2 = 36

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (9 * 10)/2 = 45

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = (10 * 11)/2 = 55

1. Observen lo siguiente: 
   
   Imaginen que queremos sumar del 1 al 10 y a esta suma la simbolizamos simplemente como “S”.
   Entonces:
   1 + 2 +3 +4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = S
   Esto mismo podemos hacerlo al revés:
   10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = S
   
   Si sumamos las dos series, observamos que cada par de la serie suma la misma constante (11) diez veces, y todo esto será obviamente igual a 2S. Para entender esto, observen la siguiente suma término a término: 

1   +  2 +  3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10   =   S
10 +  9 +  8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1     =   S
11 + 11+11+11+11+11+11+11+11+11 =  2S

1. Expresen S de la siguiente manera: 
   [pic 2]
2. Demuestren que:
   [pic 3]

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 … + n = s

N + n-1 + n-2 + n-3 + n-4 + n-5 + n-6 + … 1 = s

  (1+n) + (1+n) + (1+n) + (1+n) + (1+n) + (1+n) + (1+n) + … + (1+n)= 2s

(n)(n+1) = 2s

S = (n)(n+1)/2

Segunda parte

1. Resuelvan en equipo el siguiente problema:
   ¿Cuántos saludos se dan en un grupo de 20 personas? 

1. Por medio de un diagrama, expliquen cómo se van  generando los primeros 6 números de la serie.  
   
   Por ejemplo:

Con dos personas  (un saludo)
[pic 4]
Con tres personas (tres saludos)
[pic 5]

1. Descubran la regla general, y calculen el número de saludos cuando hay 20 personas.
2. Lo primero que hice fue desarrollar un diagrama con más de 3 personas para saber el cambio sobre personas y saludos.

1. Con dos personas  (un saludo)
   [pic 6]
   Con tres personas (tres saludos)
   [pic 7]

Con cuatro personas (6 saludos)

[pic 8]

        Con cinco personas (10 saludos)

[pic 9]

[pic 10][pic 11]

[pic 12]

[pic 13][pic 14]

1. Y así consecutivamente se pueden obtener los saludos de las personas, pero también realice un tabla donde me percate que el número de personas más el número de saludos sumados daba como resultado el número de los siguientes saludos de las personas.

Entonces me di cuenta que la suma de las personas anteriores y los saludos me daban como resultado el número de saludos de las personas actual

Ejemplo 6 + 15 = 21

Donde 21 sería el número de saludos de 7 personas y así funciono hasta llegar con las 19 personas.

Pero a la vez la fórmula que también sirve para resolver

[pic 15]

Donde “n” equivale a 19, por que la persona #20 ya habría saludado a todos entonces 19(19+1) / 2

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