Algebra soluciones

[pic 1][pic 2][pic 3]

PEA-4-Curso 2015-2016

 2   2        −5  [pic 4]

ENUNCIADOS

1. Sea la matriz A =  3  7  −15 . Entonces: A) La matriz de Jordan posee dos cajas; B) {x = α, y = β, z = 0, : α, β ∈

1   2        −4

R} es un subespacio de vectores propios de un mismo valor propio; C) A es semejante a la matriz de filas (3, 0, 0), (0, 1, 0)

y (0, 0, 3); D) Ninguna de las anteriores.



1. Sea a ∈ R. La matriz A = 

las anteriores son falsas.

1        a   0 

0        2        0  es diagonalizable: A) Si a /= 0; B) Si a = 0; C) Para valores pares de a; D) Todas

a        1        1

 2   1   −1 

1. Sea la matriz A =  0   2        0

0   1        1

 . Una base del subespacio de vectores propios asociados al autovalor 2 es: A) {(2, 1, 1)};

B) {(0, 1, 1), (3, 2, 2), (1, 0, 0)}; C) {(1, 1, 1), (0, 1, 1)}; D) Ninguna de las anteriores.

        

 −4        1        2        0        0        0        0   0



1. Calcu´lese una matriz de paso M utilizando el comando ModeMatrix de la matriz [pic 5]

2        0        0        2        0        0        0   0



 −7        2        0        0        2        0        0   0[pic 6]

  9        0        −2        0        1        2        0   0[pic 7][pic 8]



−34        0

145

Elvira Hern´andez, Juan Jacobo Per´an        1[pic 9]

1. Si A es una matriz cuadrada de orden 2 que es semejante a la matriz

C) det(A) = 0; D) det(A) no se puede calcular.

  2        0  

0   −1

, entonces: A) det(A) = 1; B) det(A) = −2;

1. Se pide responder a las siguientes cuestiones: A) ¿Cu´ales son los valores propios (y sus correspondientes multiplicidades) del polinomio caracter´ıstico P (x) = x4 − 6x3 + 13x2 − 12x + 4?; B) Si a es una matriz definida en MAXIMA y tras cargar el paquete adecuado y evaluar jordan(a); se obtiene: [[2,3,3,1],[3,1]] . ¿Qu´e interpretaci´on tiene dicha salida?. C)

¿Qu´e devuelve JF(8,5); tras evaluarlo adecuadamente, es decir, con el paquete correspondiente de MAXIMA?

1. Sean A =

  2   0  

0   1

, B =

  2   −1  

0        1

y una matriz de paso P =

  a        b

c        d

. Las condiciones que deben cumplir a, b, c y d

para que A y B sean semejantes son: A) a2 + b2 = c2, d = 0; B) b = c = 0, d /= 0, a /= 0; C) b = d, c = 0; D) Nunca pueden ser semejantes.

 2   2        −5  

SOLUCIONES

1. La matriz A =

 3  7  −15  tiene como polinomio caracter´ıstico −x3 + 5 x2 − 7 x + 3 cuyas ra´ıces son 3 (simple)

1   2        −4

y  1  (doble).  Adem´as,  si  hallamos  los  subespacios  de  vectores  propios  asociados  comprobamos  que  la  matriz  dada  es

 2 − 1        2        −5

  x 

 0 

diagonalizable. En efecto, sistema homog´eneo 

3        7 − 1        −15           y

1        2        −4 − 1        z

 =  0  es equivalente a x+2y−5z = 0.

0

Por tanto, el subespacio de vectores propios de valor propio 1 es de dimensi´on 2 y una base es {(1, 0, 1 ), (0, 1, 2 )}. Por lo[pic 10][pic 11]

5        5

tanto, A) es falsa ya que la matriz de Jordan tiene tres cajas. La opci´on B) tambi´en es falsa porque dicho subespacio es de

dimensi´on 2 y no coindice con el anterior (n´otese que el subespacio de vectores propios de valor propio 3 es de dimensi´on 1). A no es semejante a la matriz de filas (3, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 3) sino a la matriz de filas (3, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1). Es cierta D). Se puede comprobar con MAXIMA todo lo anterior. Sin embargo, en este caso, para practicar, conviene realizarlo primero a l´apiz y papel.



1. Sea a ∈ R, tenemos que ver para qu´e valores de a, la matriz A = 

1        a   0 

0        2        0  es diagonalizable. Su polinomio caracter´ıstico

a        1        1

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