Analisis de situaciones problematicas con funcion cuadratica

A partir de la siguiente secuencia de problemas  se pretende retomar  y ampliar conceptos que los chicos fueron adquiriendo en la escuela secundaria básica y comienzan a ampliar en la escuela secundaria superior  intentando  la autonomía en la resolución de problemas  desde el  pasaje de la aritmética al álgebra , la aproximación en las formas de argumentación  matemáticas, y el uso del lenguaje simbólico , dejando de lado el trabajo meramente explorativo , para ir avanzando sobre la generalización  de los distintos conceptos que se vienen trabajando hasta llegar a la modelización .

El primer problema que consideramos (el número 3 de la cátedra)tiene como finalidad trabajar uno de los errores que habitualmente cometen los alumnos  , que es el uso de la noción de proporcionalidad para el cálculo de la variación del perímetro o del área de una figura en la que se modificaron sus dimensiones .Es común que los alumnos sostengan sin dudar que si los lados de un rectángulo se duplican o triplican ocurrirá lo mismo con  el perímetro y el área.

Para ello se propone trabajar el siguiente problema  analizando cada situación para poder superar este error.

[pic 1]

PRIMER PROBLEMA

Si un rectángulo se le triplica sui base y su altura:

a) ¿Es cierto que el área también se triplica? ¿Por qué?

b) ¿Es cierto que el perímetro también se triplica? ¿Por qué?

c) Si ahora, en vez de tener un rectángulo tengo un cuadrado, ¿Qué pasa con su área y perímetro al triplicar el lado?

Para responder  estas preguntas vamos a trabajar con un rectángulo de 4cm de base por 3cm de altura.

Área del rectángulo es: base por altura   Perímetro del rectángulo: base por dos más altura por dos

A=b x h                                                               P= (bx2) + (hx2)

A=4cm x3cm                                                     P= (4 cmx2) + (3cmx2)      

A=12 cm2                                                                                            P=14cm

Si triplicamos su base y su altura resulta:

A=b x h                                                                P= (bx2) + (hx2)

A= (4x3) cm (3x3) cm                                       P= (4 cmx2) + (3cmx2)      

A= 12cm x 9cm                                                 P= (3x4 cmx2)+ (3x3cmx2)      

A=108  cm2                                                        P=42cm

a) No es cierto que el área se triplica, si comparamos el área calculado con las medidas originales con el área calculado con  las medidas triplicadas podemos ver que el área es nueve veces mayor, porque como triplicamos las dos medidas y el área es un producto de esas medidas.

b) Si es cierto que el perímetro se triplica porque el perímetro es la suma de las cantidades que triplicamos.

c) Para responder  estas preguntas vamos a trabajar con un cuadrado de 4cm de lado.

-El área del cuadrado se calcula haciendo el lado al cuadrado;  

-El perímetro calculando el cuádruple del lado.

A= l2                                                               P= lx4

A= (4cm) 2                                                    P= 4x4cm      

A=16 cm2                                                                                    P=16cm

Si triplicamos sus lados  resulta:

A= l2                                                               P= lx4

A= (3x4cm) 2                                                P= 3 x (4 x 4cm)      

A=144 cm2                                                                                P=48cm

Si trabajamos con un cuadrado ocurre lo mismo que con el rectángulo porque las relaciones entre los lados de estos cuadriláteros y sus perímetros y sus áreas es la misma. En el caso del perímetro la relación es lineal y en el caso del área es cuadrática.

CUESTIONARIO

a) El problema que esta situación plantea al alumno, es el comportamiento del área y del perímetro de un cuadrilátero cuando varía la medida de sus lados en este caso se triplican.

b) Para iniciar algún proceso de resolución los alumnos mínimamente deberán conocer la forma de calcular el área y el perímetro del rectángulo y del cuadrado.

c) La clase se debería organizar para que los chicos trabajen en forma individual y luego de un tiempo contrasten sus soluciones con las de sus compañeros de banco, para luego pasar al pizarrón  mostrando las distintas formas que usaron para resolver el problema.

d) Entre las resoluciones  pueden aparecer distintas formas de calcular el área y el perímetro, ya que algunos pueden recordar las formulas y otros pueden proceder a calcular por ejemplo  el perímetro sumando todos los lados. Una de las discusiones    más probables entre compañeros es que, tanto el perímetro como el área responden de igual manera, si los lados se triplican sus áreas y perímetros también.

e) En función de la planificación para trabajar este problema propondría que se vaya trabajando sobre la figura para poder probar en primer lugar en forma gráfica como  va variando el área y el perímetro según se modifican las medidas de sus lados.

f) Considero que los alumnos validarían en primer lugar sus conclusiones a través de las gráficas. Intervendría para llegar a conclusiones de porqué  pasa que en el perímetro si se mantiene la proporcionalidad y en el área no.

g) Las cuestiones conceptuales a trabajar serían identificar que la relación entre los lados de un cuadrilátero y su perímetro responde a una función lineal y en cambio la relación entre los lados de un cuadrilátero y su área responde a una función cuadrática.

SEGUNDO PROBLEMA

De todos los rectángulos de perímetro igual a 24 cm, ¿cuáles son las medidas del rectángulo con mayor área? ¿Cuál es el valor de más área?

En primer lugar, hay que interpretar el enunciado: hay infinitos rectángulos con perímetro igual a 24 cm, y cada uno de ellos tiene un área diferente. Por ejemplo:[pic 2]

                8 cm                                                      10,4 cm        [pic 3]

  4 cm                1,6 cm               5cm[pic 4]

                Área= 16,64 cm²          7 cm

Área= 32 cm²        Área= 35 cm

En segundo lugar se  puede armar una función y hacer un gráfico. El siguiente rectángulo tiene perímetro igual a 24 cm, pero las medidas de sus lados son desconocidas.

Como el perímetro es 24 cm, entonces se tiene que:                                                   a[pic 5]

2a + 2b=24        a + b=12             b=12-a        b[pic 6][pic 7]

        Área=A=a. b

Así, si A es el área, resulta que (reemplazando b por 12-a):

A=a. b = a. (12 - a) = 12a² - a².

A= -a² + 12a es una función cuadrática y su grafica es una parábola. Se puede observar en ella que, hay dos valores que puede tomar a, para los que el área es cero, es decir que no es un rectángulo, porque si uno de los lados es cero, el otro es 12 cm, y viceversa. Estos valores de a (0 y 12), son las raíces de la parábola. 

Luego podemos graficar, tomando algunos puntos convenientes de la función:

[pic 8][pic 9]

Al ubicar las raíces y trazar el eje de simetría de la parábola, se puede observar que la primer coordenada del vértice es el punto medio es el punto medio entre 0 y 12, es decir 6.

Entonces, si a=6, entonces A=-a² +12ª= -6²+12.6=-36+72=36

Por último, se debe interpretar el grafico, encontrar la solución y analizar que conocimientos nos deja este problema:

-como el coeficiente cuadrático es negativo, podemos observar que los brazos de la parábola apuntan hacia abajo.

- el vértice (6, 36) es su punto máximo. Es decir, si a=6, A=36 cm² y este es el mayor valor que puede tomar el área A.

-y por otra parte, b=12-a=12-6=6. Es decir que, de todos los rectángulos de perímetro igual a 24 cm, el cuadrado de lado 6cm es el que tiene mayor área: 36 cm².    

 CUESTIONARIO                                      

a) El problema que esta situación plantea es el de hallar el rectángulo con mayor área posible, que cumpla con la condición de que su perímetro sea 24 cm.

b) los conocimientos mínimos que deben tener los alumnos para realizar el proceso de resolución son: concepto de variable, a partir de gráficos y tablas; área y perímetro de rectángulo.

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