Velocidad y aceleración . Aplicación de ecuaciones diferenciales

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 Fundamentación

Cuando estudiamos física es fundamental hablar sobre el movimiento, este concepto está relacionado con las ideas de materia, espacio y tiempo, las cuales están ligadas estrechamente a la naturaleza misma del universo y a la naturaleza empírico-experimental del sujeto que conoce.

La mecánica clásica como una disciplina de la ciencia física es la encargada de explicar desde el punto de vista cinemático y dinámico el movimiento. La descripción del movimiento hace necesario introducir las magnitudes de velocidad y aceleración tanto conceptual como matemáticamente.

La motivación principal e intención para estudiar estos conceptos, se debe a las incapacidades para asirse a una explicación de “algo” que se presenta como una definición teórica. En las revisiones realizadas de la literatura actual no se percibe un desarrollo conceptual ni una explicación satisfactoria para la velocidad utilizando ecuaciones diferenciales en la enseñanza secundaria, además del uso de una metodología que permita al alumno no solo desarrollar los conceptos físicos sino poder relacionarlos con el espacio curricular de matemática.

En este trabajo se realiza un análisis del concepto de velocidad y aceleración, su relacione con la enseñanza de la física y las matemáticas, además el interés de recuperar de forma reflexiva la construcción de estas magnituddes, facilitando la orientación de lo cognoscible en la comprensión de la cinemática de los cuerpos. En el ejercicio profesional de la enseñanza es habitual pensar en estrategias que permitan orientar y facilitar el aprendizaje de cualquier temática, desde esta perspectiva se pretende encontrar luces en el desarrollo de una propuesta basada en la teoría del aprendizaje significativo, la utilización de ecuaciones diferenciales en su descripción matemática y el método Pólya de resolución de problemas.

La elaboración del conocimiento en las aulas escolares de enseñanza aprendizaje, es una actividad claramente orientada a compartir significados y sentidos sistemáticamente planificados por los profesores y los estudiantes, que posibilitan, no solo consensuar sobre contenidos escolares, sino emplearlos con respecto a la que el plan de estudios contempla y relacionarlos en la vida y para la vida cotidiana.

La relevancia de este trabajo radica fundamentalmente, en advertir la necesidad de disponer de un ámbito pedagógico y didáctico que facilite la construcción de significados y formas de significar y actuar de los estudiantes. Este proceso implica necesariamente el enseñar a leer y escribir en la disciplina de la física.

Introducción -Justificación 

En el estudio de la física en la educación secundaria específicamente cuando se estudia la cinemática, es fundamental poder explicar los diferentes tipos de movimientos, como por ejemplo movimiento rectilíneo y circular, de ellos nos interesa especialmente en movimiento rectilíneo uniformemente variable, los conceptos de velocidad y aceleración.

En muchos fenómenos naturales se observa que constantemente enuncian estos conceptos, lo que de alguna manera ha dado lugar a la creación de modelos explicativos e interpretaciones que hace el sujeto de tal movimiento, mediante situaciones de la vida cotidiana que evidencian representaciones alternativas que sirven de conexión para la construcción del mismo, caracterizando un cuerpo que se encuentra en movimiento en línea recta. Esto se debe a que esta magnitud junto a otras nos permite describir estos movimientos.

Con base a lo anterior se tienen varios propósitos que se pueden lograr en la aplicación de la propuesta; uno es comprensión del concepto de velocidad y aceleración de la forma usual y otro es aplicar ecuaciones diferenciales en la deducción matemática misma.

La propuesta se fundamenta en el marco del aprendizaje significativo, cuya premisa fundamental se ha convertido en un principio didáctico: “Para aprender significativamente, el individuo debe relacionar los nuevos conocimientos con los conceptos y las proposiciones relevantes que ya se conocen”. (Moreira, 1996).

Además, vamos a utilizar la metodología empleada en los procesos que desarrolla la aplicación del Método Pólya en la resolución de problemas matemáticos y las ventajas de aplicar dicho método en los estudiantes de 5° año del nivel secundario elaborando ejercicios sobre la resolución de problemas matemáticos a través del método Pólya para erradicar la concepción de la matemática como una materia aburrida y difícil. Se debe tomar conciencia acerca de la problemática vivida en torno a este tema, pero también es necesario tomar las medidas necesarias para lograr el mejoramiento en el proceso de enseñanza-aprendizaje matemático.

Alcance del modelo

Los propósitos anteriormente descritos, generaron la motivación para diseñar el presente plan de clases para que sea abordado en el 5° año de nivel secundario en la catedra Física que articulados con la matemática y su descripción analítica, permitirán una mejor comprensión de estos conceptos y los fenómenos naturales relacionados con ellos. En este trabajo se propone una alternativa para llegar a los conceptos de velocidad y aceleración utilizando ecuaciones diferenciales esperando que sirva de base para los alumnos al momento de pasar a un nivel de enseñanza superior.

Objetivos generales

Diseñar una propuesta didáctica aplicable en el nivel secundario, con el fin de posibilitar la comprensión del movimiento rectilíneo uniformemente variable introduciendo los conceptos antes nombrados, de una manera no arbitraria y sustancial, utilizando conceptos matemáticos y aplicarlos en fenómenos físicos y determinar los procesos que aplica el Método Pólya en la resolución de problemas matemáticos en los estudiantes.

Objetivos específicos

• Relacionar el concepto de ecuación diferencial con el de velocidad y aceleración.
• Comenzar la construcción del aprendizaje subordinado creando relación entre las ideas nuevas y las ya existentes.
• Propiciar la tangibilidad de conceptos abstractos y crear la idea más global de estas magnitudes que da cuenta de todo movimiento rectilíneo uniforme.
• Elaborar un conjunto de estrategias sobre resolución de problemas matemáticos a través del método Pólya.

Hipótesis

“Para calcular la velocidad en función del tiempo se debe derivar de la función posición en función del tiempo”.

“La aceleración se obtiene derivando la velocidad en función del tiempo.

El método Pólya se aplica en la resolución de problemas matemáticos relacionados con la física.

Estado del arte

El descubrimiento de Newton y Leibniz en el siglo diecisiete sobre las ideas básicas del cálculo diferencial fue crucial para el avance que sufrieron las matemáticas, y más importante fue, si cabe, la relación que encontraron entre el cálculo integral y el diferencial, ya que consiguieron fundirlos en uno solo. Una de las aplicaciones de este descubrimiento fue la física.

La derivada se utilizó, en principio, para el cálculo de la tangente en un punto, y pronto se vio que también servía para el cálculo de velocidades y aceleraciones, y en consecuencia para el estudio de la variación de una función.

Desde los primeros pasos en el cálculo diferencial, de todos es conocido que dada una función y = f(x), su derivada f(x)´= (dy/dx), en forma de diferencial de una función de una sola variable.

Hay una gran variedad de problemas en los cuales se desea conocer un elemento variable a partir de su coeficiente de variación, o, dicho de otra forma, queremos conocer cómo varía dicho elemento en función de una o varias variables.

En definitiva, lo que se pretende es determinar una función desconocida mediante datos relacionados por una ecuación que contiene, por lo menos, una de las derivadas de la función desconocida.

Estas ecuaciones se denominan ecuaciones diferenciales y su estudio por parte de Newton, Leibniz y los Bernoulli para resolver algunas de las ecuaciones diferenciales sencillas que se presentaron en geometría y mecánica, llevaron al conocimiento sobre la resolución de ciertos tipos de ecuaciones diferenciales.

Marco teórico

Cuando se estudia el movimiento de los cuerpos que se mueven con movimiento rectilíneo uniformemente variable, es decir, que tienen un cambio de posición respecto del tiempo podemos describir dicho movimiento en función de variables que nos permiten desarrollar las ecuaciones relacionadas a él. Estas variables son:

La velocidad: Se sabe que el cambio de posición con respecto al tiempo representa una magnitud denominada velocidad, que de acuerdo con los conceptos ya vistos de cálculo escribimos como:

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