APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DOBLES E INTEGRALES TRIPLES

APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DOBLES E INTEGRALES TRIPLES

Introducción. En la vida cotidiana podemos establecer diferentes tipos de comparaciones valiéndonos únicamente de nuestro propio juicio. Podemos decir que un cuerpo ocupa mayor espacio que otro… pero es subjetivo.

Las matemáticas como una ciencia exacta, se ocupa de todo aquello que puede ser mensurable, se ocupa de describir y analizar las cantidades, el espacio, las formas, los cambios y relaciones, así como la incertidumbre de las cantidades. Durante miles de años los matemáticos han desarrollado algoritmos y modelos necesarios para dar respuesta a múltiples problemas, planteados en diferentes situaciones como: Ingeniería, economía, medio ambiente, medicina, etc.  

El cálculo de vectorial o calculo multivariable es una rama de las matemáticas que estudia las funciones escalares y vectoriales de varias variables apoyándose en el cálculo infinitesimal.

LA INTEGRAL DOBLE

Definición de integral doble: Sea  una región cerrada y acotada del plano .[pic 1][pic 2]

Sea  una función que va del espacio vectorial  una función definida en .[pic 3][pic 4][pic 5]

Entonces los pasos que conducen a la definición de integral doble son:

1) Consideramos una cuadricula que contenga a  siendo rectángulos de la cuadrícula, de áreas respectivas , totalmente contenidos en [pic 6][pic 7][pic 8][pic 9]

2) Escogemos  un punto arbitrario en  para . [pic 10][pic 11][pic 12]

3) Calculamos la suma [pic 13]

4) Consideramos cuadrículas cada vez más finas que contengan a , de modo que las dimensiones de cada rectángulo tiendan a cero, y el número de rectángulos contenidos en sea cada vez mayor. Entonces definimos: [pic 14][pic 15]

[pic 16]

1

[pic 17][pic 18]

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DOBLE.

Área de una región plana.

Considérese una región plana  acotada por  y  como se muestra en la figura 1.1. El área de  está determinada por la integral definida.[pic 19][pic 20][pic 21][pic 22]

[pic 23]

Usando el teorema fundamental del cálculo, se puede reescribir el integrando  como una integral definida. Considerando constante y se deja que varíe desde la región   hasta la región  se puede expresar como.[pic 24][pic 25][pic 26][pic 27][pic 28]

[pic 29]

Combinando estas dos integrales, se puede expresar el área de la región   como una integral doble iterada o simplemente como la integral de área de una región  de una función  .[pic 30][pic 31][pic 32]

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[pic 35]

[pic 36][pic 37][pic 38]

Ejemplo 1.

Utilizar una integral doble para hallar el área de la región acotada por las gráficas de  y entre  y [pic 39][pic 40][pic 41][pic 42]

Solución: Como f y g se dan como funciones de x, es conveniente utilizar un rectángulo representativo vertical, y se puede elegir  como orden de integración. Los límites exteriores de integración son . Dado que el rectángulo está limitado o acotado, superiormente por  e inferiormente por    se tiene.[pic 43][pic 44][pic 45][pic 46]

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Calcule el valor del área de la región acotada por las funciones , y las rectas x=1 y x=2[pic 57][pic 58]

1) Lo primero que debemos hacer es trazar la región de integración.

La región sombreada,  es la región a la cual debemos calcular el área. [pic 59]

2) Después de trazar la región de integración debemos de establecer la integral doble.
[pic 60]

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VOLUMEN DE UNA REGIÓN SÓLIDA

Considerese una función continua  tal que  para todo  en una región  del plano . Nos planteamos calcular el volumen de la regi´on s´olida comprendida entre la superficie dada por   y el plano . Para comenzar subdividimos la región  en rectángulos, quedando algunos rectangulos incompletos en el borde de . Los rectángulos (completos) que se encuentran contenidos en , forman una partición interior  cuya norma  está definida como la longitud diagonal más larga de los  rectangulos que la constituyen. Después se elige un punto  en canda rectángulo y se construye el prisma rectangular de altura , y el volumen de la región sólida se puede aproximar mediante la suma de Riemman de los volumenes de los  prismas . Esta aproximación se puede mejorar subdividiendo en rectángulos cada vez más pequeños, lo que sugiere que se podría obtener el volumen exacto tomando un límite. Es decir,[pic 69][pic 70][pic 71][pic 72][pic 73][pic 74][pic 75][pic 76][pic 77][pic 78][pic 79][pic 80][pic 81][pic 82][pic 83][pic 84][pic 85][pic 86]

[pic 87]

Definición:  Si   está definida en una región cerrada y acotada  del plano , entonces la integral doble de  sobre está definida por.[pic 88][pic 89][pic 90][pic 91][pic 92]

[pic 93]

Siempre que el límite exista en cuyo caso  es integrable sobre [pic 94][pic 95]

Ejemplo 1. Hallar el volumen de la regón sólida  acotada por la superficie  y los planos , y ,  y .[pic 96][pic 97][pic 98][pic 99][pic 100][pic 101]

Solución.

La base de la región sólida en el plano  está delimitada por las rectas , , y  y puede describirse de las dos maneras siguientes, asociadas a los dos órdenes de integración posible , y . Esta descripción nos llevará al siguiente cálculo.
[pic 102][pic 103][pic 104][pic 105][pic 106][pic 107][pic 108]

El cual no es trivial ya que  no posee una función primitiva.[pic 109]

 y . En este caso el volumen sería así [pic 110][pic 111]

[pic 112]

[pic 113]

[pic 114]

[pic 115]

Ejemplo 2. Hallar el volumen de la región limitada por los planos , , ,  y .[pic 116][pic 117][pic 118][pic 119][pic 120]

La región dada es el tetraedro de la figura.

Si observamos que, cuando varía entre  y ,  varía entre  y , con , el volumen buscado es.[pic 128][pic 121][pic 122][pic 123][pic 124][pic 125][pic 126][pic 127]

[pic 129]

[pic 130]

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MASA DE UNA LÁMINA DE DENSIDAD CONSTANTE

Las integrales dobles pueden usarse para calcular la masa de una lámina de densidad variable, donde la densidad en  está definida por la función de densidad .[pic 132][pic 133]

Supongamos que tenemos un cuerpo plano acotado (lámina de grosor despreciable), de forma que su masa total está distribuida en forma conocida siguiendo una función de densidad superficial .[pic 134]

Entonces
[pic 135]

Ejemplo: Determine la masa de la placa plana limitada por las curvas  y , cuya densidad es igual a la unidad.[pic 136][pic 137]

Solución

Recordando que la masa se calcula como

[pic 138]

Ahora se debe identificar la región  para definir los límites de integración.[pic 139]

[pic 140]

[pic 141]

Entonces la región D está definida como: [pic 142]

Por lo tanto

[pic 143]

[pic 144]

[pic 145]

Por lo tanto la masa del alambre es

[pic 146]

MOMENTOS Y CENTRO DE MASA DE UNA LÁMINA PLANA CON DENSIDAD VARIABLE.

En láminas de densidad variable los momentos de masa se definen de manera similar a la empleada en el caso de densidad uniforme. Dada una partición  de una lámina, correspondiente a una región plana R, considerar un rectángulo  de área . Suponer que la masa de  se concentra en uno de sus puntos interiores . El momento de masa   respecto al eje  puede aproximarse por medio de.[pic 147][pic 148][pic 149][pic 150][pic 151][pic 152][pic 153]

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