Aplicación del cálculo multivariable en ingeniería

Aplicación del cálculo multivariable en ingeniería

Introducción:

Al ser el cálculo multivariable la extensión de cálculo infinitesimal en una variable a múltiples variables implica que él mismo aumenta respecto a su complejidad.

La mayoría de los estudiantes que empiezan sus estudios dentro de las distintas ramas de la ingeniería no logran comprender la aplicación del cálculo multivariable dentro de las distintas asignaturas impartidas en las mallas curriculares de las ingenierías.

Dentro del presente ensayo se busca exponer los distintos usos del cálculo multivariable en ingeniería de manera explícita con el fin de ayudar a una mejor comprensión de estos.

Desarrollo:

Teniendo el cálculo multivariable como el eje principal podemos encontrar su aplicación en los siguientes temas. funciones vectoriales

Funciones vectoriales

Dominios y rangos

Definición  ft=(f1(t),f2(t),….,fn(t));[pic 1]

f1,f2,…..,fn; ; [pic 2][pic 3]

 [pic 4]

      [pic 5]

•       [pic 6]
•       [pic 7]

Una función vectorial es una aplicación f: D ⊂ IR^n → IR^m tal que a cada vector.

x = (x1, x2, . . ., xn) le hace corresponder un vector y = (y1, y2, . . ., ym), es decir, y = f(x). Usando la notación:

• y1 = f1(x1, x2, . . ., xn)
• y2 = f2(x1, x2, . . ., xn)
• .
• .
• ym = fm(x1, x2, . . ., xn)

Con f=(f1,f2, …..,fm). Cada fi son funciones escalares, fi : IR^n → IR y se llaman funciones componentes o proyecciones de la función vectorial f.

Ejemplos de Dominios:

1.     Obtener el dominio de definición de la función )[pic 8]

[pic 9]

Por tanto [pic 10]

[pic 11]

Por tanto . Entonces el dominio de definición de f es[pic 12]

[pic 13]

Pasamos a definir el concepto de límite de una función vectorial, como se puede intuir será una adaptación del concepto de límite de una función real de variable real a función vectorial. Según una investigación el dominio y el rango son “En el área de matemática, la función es vista como una relación entre una variable “X” y una variable “Y”. Por lo tanto, el dominio (Domf) es el conjunto de todos los valores que reemplazados por “X” proporcionan como resultado un valor real, permitiendo tener infinitas funciones. En cambio, el rango (Ranf), también conocido como codominio, son el conjunto de valores que pertenecen a la variable “Y”.” (Significado de Dominio, 2019)

1.2

[pic 14]

Dom f2(t):

• [pic 15]
• [pic 16]
• [pic 17]

Dom f3(t):

•                                                                            [pic 18][pic 19][pic 20]
•                                                           [pic 21][pic 22][pic 23]
•                                      [pic 24][pic 25]
•                                   [pic 26]

Dom f1(t):

•         [pic 27]
•           [pic 28]
•                        [pic 29]

Dom f(t):                                

•         [pic 30]

El estudio de las funciones vectoriales se realiza a través de sus funciones componentes, así si se quiere hallar el dominio de definición D de la función f, obtenemos los dominios de definición de cada una de sus funciones componentes y la intersección de todos ellos nos dará el dominio buscado.

El estudio de límites y continuidad en el cálculo multivariable arroja varios resultados no demostrables por las funciones de una sola variable. Por ejemplo, hay funciones escalares de dos variables con puntos en su dominio que brindan diferentes limites cuando se toman en diferentes direcciones.

Limites y continuidad

Un estudio de los limites y la continuidad en el cálculo multivariable produce muchos resultados contradictorios que no se demuestran mediante funciones de una sola variable. Por ejemplo, hay funciones escalares de dos variables con puntos en su dominio que dan limites diferentes cuando se acercan a lo largo de caminos diferentes.

[pic 31]

Se acerca a cero siempre que el punto (0,0) se aborda a lo largo de líneas a través del origen (y=kx). Sin embargo, cuando se aborda el origen a lo largo de una parábola y=, el valor de la función tiene un límite de . Dado que tomar diferentes caminos hacia el mismo punto produce diferentes valores limite, allí no existe un límite general.[pic 32][pic 33]

La definición de limites matemáticos “En la matemática, límite se refiere a la magnitud fija en que los términos de una secuencia se aproximan entre sí. Se utiliza en el análisis real y complejo.

En las fórmulas matemáticas, el límite se representa de la siguiente manera: lim(an) = a. También se puede representar con los siguientes símbolos: an → a.” (Significado de Límite, 2018)

La continuidad en cada argumento que no es suficiente para la continuidad multivariante también se puede ver en el siguiente ejemplo. En particular, para una función valor real con dos parámetros de valor real, f(x,y), continuidad f en x para fijo y, continuidad de f en y, continuidad de f en y para fijo x no implica continuidad de f.

[pic 34]

Podemos analizar que la función es cero por la definición del límite y fuera del cuadrilátero (0,1) x (0,1). A su vez las funciones definidas para constantes  por [pic 35]

[pic 36]

Son continuos, específicamente

[pic 37]

Sin embargo, la secuencia converge a  haciendo que la funciones sea discontinua en (0,0). No se acerca al origen a lo largo de paralelos al y  – eje que revela discontinuidad.[pic 38][pic 39][pic 40][pic 41]

Continuidad de la función compuesta: si es continuo en (a,b) y  g es la función de una sola variable continua en  f (a,b) entonces la función compuesta definido por  es continuo en (a,b). [pic 42][pic 43][pic 44]

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