BASES DE LA GEOMETRIA

GEOMETRÍA

La palabra Geometría procede de dos palabras griegas que son: geo que significa tierra y metron que significa medida. La unión de ambas palabras – geometría – significa medida de la tierra.

Hace más de 2000 años los egipcios que vivían en las orillas del río Nilo y se dedicaban a la agricultura, tenían problemas con las crecidas que este río provocaba. Cuando las aguas del Nilo inundaban las tierras y al retirarse dejaban sustancias que enriquecían los campos para futuras cosechas, producía también un problema, y es que borraba las señales de los límites de los campos.

Cada agricultor tenía señalada en el suelo las medidas de sus terrenos. Cuando las aguas se retiraban y borraban las señales, se volvían a medir las tierras. Los encargados de hacer las nuevas mediciones eran los agrimensores.

La palabra agrimensor significa: encargado de medir la tierra.

¿DE QUÉ SE OCUPA LA GEOMETRÍA?

Como ni estamos en Egipto ni nos dedicamos, por ahora, a la agricultura, es lógico que hoy, la Geometría se ocupe del estudio de algo más que de medir terrenos. La Geometría que es una rama de las Matemáticas estudia: los puntos geométricos, rectas, planos, curvas, polígonos, poliedros, superficies, volúmenes, etc.

Comenzamos el estudio de la Geometría por el:

PUNTO GEOMÉTRICO

¿Qué es un punto geométrico?

El punto es la parte, el elemento, la cosa más simple y una de las más importantes de la Geometría.

Un punto no tiene medidas, es decir, no puedes medir su anchura o largura. Solo apreciamos el lugar donde se encuentra.

Imagina que tienes un papel sobre la mesa y dejas caer el bolígrafo de punta. Al impactar contra el papel deja una pequeña señal y cuando nos referimos a ella, hablamos de punto.

Es costumbre representarlo por una cruz y a un lado la letra por la que le identificamos

Ejemplos:

El lugar donde se cortan o se juntan las rectas es el punto (en color rojo que para lograr verlo hemos de ampliar la imagen) y las hemos representado con las letras A y B. Las denominamos: punto A y punto B.

Cuando hablamos de intersección de dos o más líneas nos referimos a las líneas que se cortan. La palabra intersección procede de dos palabras latinas: inter que significa entre y sectio que significa corte.

LECCION 2

RECTA

La recta es un conjunto de puntos colocados unos detrás de otros en la misma dirección.

La línea recta no tiene principio ni fin. Cuando dibujamos una línea recta, en realidad, representamos una parte de ella. Unas veces la representamos con dos letras mayúsculas que se refieren a dos de sus puntos, o bien, con una letra minúscula:

Toma un trozo de hilo por los extremos, cada uno con una mano y ténsalo fuerte. De este modo obtienes una recta.

La recta es la distancia más corta entre dos puntos.

SEMIRRECTA

Cuando en una recta señalas un punto, a cada uno de los tramos a ambos lados de la misma llamamos semirrecta:

Como puedes observar, la recta que pasa por el punto A ha quedado dividida en dos partes representadas por las semirrectas m y n.

Podemos decir que una semirrecta es parte de una recta que tiene principio u origen y no tiene fin.

Las semirrectas m y n, tienen origen en A.

A la primera semirrecta la podemos representar:

A la segunda semirrecta la representamos:

Las dos semirrectas de una misma recta siempre son opuestas y además tienen el mismo origen. Las puntas de flecha nos indican que tienen sentidos OPUESTOS o CONTRARIOS, la semirrecta m tiene sentido hacia la izquierda y la semirrecta n tiene sentido hacia la derecha.

15.1 Si en una recta señalas un punto ¿en cuántas partes queda dividida la recta? ¿cómo se llaman cada una de las partes?

Respuesta: a) en dos partes b) semirrectas.

15.2 En el ejercicio anterior ¿tienen algún punto en común las semirrectas?

Respuesta: Sí, el punto que hemos fijado.

15.3 ¿El punto común de dos semirrectas es principio de una y final de otra?

Respuesta: No. Es principio de ambas.

LECCION 3

SEGMENTO

Si sobre una recta señalas dos puntos, el trozo de esa recta llamamos segmento

En la figura siguiente tienes la recta r sobre la que hemos señalado dos puntos A y B. Al trozo de recta entre A y Bllamamos segmento.

Cuando veas la notación se refiere al segmento existente entre A y B. Casi siempre, a los segmentos los designamos con letras mayúsculas.

15.4 Si en una recta fijas dos puntos ¿en cuántas partes has dividido a la recta?

Respuesta: En tres partes.

15.5 ¿Cuántas semirrectas y cuántos segmentos creamos al fijar dos puntos en una recta?

Respuesta: 2 semirrectas y un segmento.

Solución:

En la figura que tienes a continuación puedes ver:

1) Los puntos A y B.

2) Las semirrectas m y n

3) El segmento AB

Las semirrectas m y n tienen principio u origen pero no tienen fin.

La porción de recta (en color rojo) comprendida entre los puntosA y B es un segmento.

15.6 Si decimos que una semirrecta tiene un origen, el final ¿dónde se encuentra?

Respuesta: En el infinito, no tiene límite.

15.7 Dos semirrectas ¿pueden tener un punto común?

Respuesta: Sí, el punto origen de ambas.

15.8 ¿Cuántos puntos necesito para trazar una recta que los incluya?

Respuesta: Dos puntos.

15.9 ¿Existe alguna diferencia entre recta y semirrecta?

Respuesta: Sí, la recta no tiene ni principio ni fin, la semirrecta aunque tampoco tiene fin, sí tiene un origen.

15.10 Si unimos dos semirrectas opuestas ¿qué resultado obtenemos?

Respuesta: La recta.

OPERACIONES CON SEGMENTOS

Sumar:

Para sumar segmentos, los colocamos uno a continuación de otro, sobre la misma recta, es decir, agregamos un segmento al siguiente y el valor de la suma será la longitud total obtenida.

Supongamos que tenemos los segmentos:

tal como los tienes en la figura siguiente.

Los colocamos sobre una recta, uno a continuación de otro, tal como ves en la figura que tienes a continuación y la suma de los tres segmentos será el segmento

Supongamos que tenemos 3 segmentos que miden 2, 3 y 6 cm., y los colocamos sobre una misma línea, uno a continuación de otro. Obtendremos un segmento de 11 cm:

El resultado gráfico será:

Restar:

Para restar dos segmentos puedes llevarlos a ambos sobre la misma línea haciendo coincidir uno de los extremos de los dos. El segmento sobrante, será la diferencia.

Tengo 2 segmentos de 2 y 5 cm., respectivamente:

Los llevo sobre la recta r haciendo coincidir los extremos A y C:

La diferencia nos vendrá dada por el segmento que medirá 3 cm.

Multiplicar:

En esta operación aritmética estudiamos el producto de un número natural por el valor de un segmento.

Consiste en sumar tantos segmentos iguales como unidades tiene el número natural.

En la figura siguiente tienes un segmento de 2 cm., que lo multiplicamos por el número 4 que es un número entero y positivo.

Sobre la recta r colocamos este segmento, uno a continuación de otro, tantas veces como unidades tiene el número natural, en nuestro caso, 4.

La longitud del segmento resultante será el valor del producto, es decir, 8 cm.

Dividir:

En esta operación aritmética estudiamos el cociente del valor de un segmento entre un número natural. El cociente que obtengamos será valor del segmento que nos piden.

En realidad, se trata de la operación inversa a la que hemos realizado en el producto.

Supongamos que nos dan el valor del segmento que es de 12 cm. y nos dicen que lo dividamos entre el número natural 4:

Si dividimos 12 entre 4 obtendremos que el segmento que ha sido multiplicado por 4 vale 3 cm.

El resultado de la división de un segmento de 12 cm., entre 4 será un segmento que mide 3 cm.

15.11 Haciendo uso de una regla realiza el producto: sabiendo que el segmento que el segmento es igual a 2 cm.

Respuesta: 10 cm

EL PLANO

Si en este momento estás leyendo lo que está escrito en esta página, es que miras a la pantalla del ordenador. Te habrás fijado que la pantalla es una superficie lisa, llana, plana,…lo mismo que la tapa de tu pupitre, el cristal de tu ventana, etc.

Todos estos ejemplos representan el plano.

El plano tiene dos dimensiones: largo y ancho:

En el plano podemos dibujar puntos, líneas, etc.

Debes tener presente:

a) Entre dos puntos sólo existe una recta.

b) Por un punto pueden pasar infinitas rectas:

Por el punto P pasan cuantas rectas desees.

A tener en cuenta:

a) Si sobre un plano o superficie plana dibujas una recta, todos sus puntos están contenidos en dicho plano o superficie plana.

b) Un plano puede contener infinitas rectas.

c) Por una recta pueden pasar infinitos planos:

Por la recta r (en color negro) pueden pasar

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