CÁLCULO DIFERENCIAL Guía Nº 5 – Máximos y Mínimos

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CÁLCULO DIFERENCIAL

Guía Nº 5 – Máximos y Mínimos

Sesión de Clases: martes 2 de noviembre de 2021

MAT 3110_001D

[pic 5]

1. Transcurridos el primer, cuarto, octavo y décimo años de funcionamiento se observan los valores (utilidades) críticos, determínelos e indique las coordenadas en la gráfica, al igual que los % de utilidades al inicio y al final del estudio.

Desarrollo:

1

𝑓(𝑥) =[pic 6]

500

𝑥5 − 23

400[pic 7]

𝑥4 + 0,58𝑥3 − 2,36𝑥2 + 3,2𝑥

Para 𝒙 = 𝟏

1

𝑓(1) =[pic 8]

500

⋅ 15 − 23

400[pic 9]

⋅ 14 + 0,58 ⋅ 13 − 2,36 ⋅ 12 + 3,2 ⋅ 1 = 𝟏, 𝟑𝟔

Para 𝒙 = 𝟒

1

𝑓(4) =[pic 10]

500

⋅ 45 − 23

400[pic 11]

⋅ 44 + 0,58 ⋅ 43 − 2,36 ⋅ 42 + 3,2 ⋅ 4 = −𝟎, 𝟓𝟏𝟐

Para 𝒙 = 𝟖

1

𝑓(8) =[pic 12]

500

Para 𝒙 = 𝟏𝟎

⋅ 85 − 23

400[pic 13]

⋅ 84 + 0,58 ⋅ 83 − 2,36 ⋅ 82 + 3,2 ⋅ 8 = 𝟏, 𝟓𝟑𝟔

1

𝑓(10) =[pic 14]

500

Para 𝒙 = 𝟏𝟏

⋅ 105 − 23

400[pic 15]

⋅ 104 + 0,58 ⋅ 103 − 2,36 ⋅ 102 + 3,2 ⋅ 10 = 𝟏

1

𝑓(11) =[pic 16]

500

⋅ 115 − 23

400[pic 17]

⋅ 114 + 0,58 ⋅ 113 − 2,36 ⋅ 112 + 3,2 ⋅ 11 = 𝟏, 𝟏𝟖𝟔

En el gráfico

[pic 18]

1. Determine la función 𝑓′(𝑥) y calcular en los años donde se observan los valores críticos. ¿Qué puede concluir?

Desarrollo:

1

𝑓(𝑥) =[pic 19]

500

𝑥5 − 23

400[pic 20]

𝑥4 + 0,58𝑥3 − 2,36𝑥2 + 3,2𝑥

𝑓′(𝑥) =        5[pic 21]

500

𝑥4 − 4 ⋅ 23 𝑥3 + 3 ⋅ 0,58𝑥2 − 2 ⋅ 2,36𝑥 + 3,2

400[pic 22]

𝑓′(𝑥) =        1[pic 23]

100

𝑥4 − 23

100[pic 24]

𝑥3 + 1,74𝑥2 − 4,72𝑥 + 3,2

Evaluando la derivada en

𝑓′(1) =        1[pic 25]

100

𝑓′(4) =        1[pic 26]

100

𝑓′(8) =        1[pic 27]

100

⋅ 14 − 23

100[pic 28]

⋅ 44 − 23[pic 29]

100

⋅ 84 − 23[pic 30]

100

⋅ 13 + 1,74 ⋅ 12 − 4,72 ⋅ 1 + 3,2 = 0

⋅ 43 + 1,74 ⋅ 42 − 4,72 ⋅ 4 + 3,2 = 0

⋅ 83 + 1,74 ⋅ 82 − 4,72 ⋅ 8 + 3,2 = 0

𝑓′(10) =        1[pic 31]

100

⋅ 104 − 23

100[pic 32]

⋅ 103 + 1,74 ⋅ 102 − 4,72 ⋅ 10 + 3,2 = 0

Un número críticos es cuando la derivada evaluada en ese punto es cero.

Se concluye:

La función derivada evaluada en los puntos críticos resulta ser cero.

1. Escriba los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las utilidades, indicando el comportamiento (signo) de la derivada en esos tramos. Para ello puede completar la siguiente tabla:

𝑓′(𝑥) =  1[pic 33]

100

𝑥4 − 23

100[pic 34]

𝑥3 + 1,74𝑥2 − 4,72𝑥 + 3,2

• Intervalos de crecimiento:

]0,1[ , ]4,8[ , ]10,12[

• Intervalos de decrecimiento:

]1,4[ , ]8,10[

1. Durante todos los años de análisis, ¿dónde se observa el mayor y menor % de utilidad? (indique el valor).

Respuesta:

Transcurridos 11 años se registra el mayor % de utilidad corresponde a 1,86% y en transcurridos 4 años el menor, registrado pérdida de 0,51%

[pic 35]

[pic 36]

Desarrollo:

1. Determinar Dominio contextualizado.

𝐷𝑜𝑚 𝑓 = [−3,4] en años.

1. Encontrar los valores críticos, utilizando la derivada de la función.

La derivada:

𝑓(𝑥)

1

=        𝑥4[pic 37]

4

1

−        𝑥3[pic 38]

3

− 3𝑥2 + 6

𝑓′

(𝑥)

4

=        𝑥3[pic 39]

4

3

−        𝑥2[pic 40]

3

− 2 ⋅ 3𝑥

𝑓′(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥2 − 6𝑥

𝑓′(𝑥) = 𝑥(𝑥2 − 𝟏𝑥 − 𝟔)

Números Críticos:

𝑓′(𝑥) = 𝑥(𝑥 + 𝟐)(𝑥 − 𝟑)

𝒇′(𝒙) = 𝟎

...