GUÍA DE ESTUDIO DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

ÁREA DE MATEMÁTICAS

GUÍA DE ESTUDIO DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II

UNIDAD 1

ÍNDICE

DERIVADAS DE FUNCIONES TRASCENDENTES

-Derivadas de Funciones Trigonométricas

-Derivadas de Funciones exponenciales y Logarítmicas.

-Algunas aplicaciones de la derivación exponencial y logarítmica.

UNIDAD I

DERIVADAS DE FUNCIONES TRASCENDENTES

En esta primera unidad del curso de cálculo II se trabajan derivadas de funciones exponenciales y trigonométricas, funciones que se estudiaron ampliamente en el curso de Matemáticas IV, por lo que sería conveniente que repases parte de lo visto en dicho curso, a continuación se proporciona la parte teórica indispensable para la resolución de los ejercicios.

FORMULARIO BÁSICO PARA DERIVAR FUNCIONES TRASCENDENTES

Para u = f (x) diferenciable se tiene:

d (eu ) = eu d (u )[pic 1][pic 2]

dx        dx

d (au ) = au d (u )ln a[pic 3][pic 4]

dx        dx

d (ln u ) = 1 d (u )[pic 5][pic 6]

dx        u dx

d (log

[pic 7]

u ) =        1        du

dx        a

u ln a dx

d (sen u ) = cos u d[pic 8][pic 9]

(u )

dx        dx

d (cos u ) = −sen u d[pic 10][pic 11]

(u )

dx        dx

d (tg u ) = sec2 u d[pic 12][pic 13]

(u )

dx        dx

d (ctg u ) = −csc2 u d[pic 14][pic 15]

(u )

dx        dx

d (sec u ) = sec u tg u d[pic 16][pic 17]

(u )

dx        dx

d (csc u ) = −csc u ctg u d[pic 18][pic 19]

(u )

dx        dx

EJERCICIO

Realiza el siguiente ejercicio usando el formulario y siguiendo los ejemplos resueltos:

1. y = e4x+5 su derivada usando la fórmula[pic 20][pic 21]

d (eu ) = eu

d (u)

con u = 4x + 5

Tenemos que

d  (e4 x+5 ) = e4 x+5

dx        dx

d (4x + 5) = e4x+5 (4) = 4e4x+5 .[pic 22]

dx        dx[pic 23]

1. Si

y = e2x2 +3x−3

entonces dy =

dx[pic 24]

1. Si

y = e

entonces d  e

dx[pic 25][pic 26][pic 27][pic 28]

x2 −9 )=

1. Como un ejemplo más complicado calculemos la derivada de y = e[pic 29]

d ⎛        ⎞[pic 30]

2 x+1 1 ⎛ 2x +1 ⎞− 2 ⎛ ( x − 5)(2) − (2x +1)(1) ⎞

         ⎜ e

⎟ = e x−5                    

⎜        ⎟ =

[pic 31]

dx ⎜        ⎟[pic 32]

3 ⎜ x − 5 ⎟        ⎜        2        ⎟

⎝        ⎠        ⎝        ⎠        ⎝[pic 33][pic 34][pic 35]

2

( x − 5)        ⎠

3 2 x−1 1 ⎛ 2x +1 ⎞− 3 ⎛        −11        ⎞[pic 36][pic 37][pic 38]

−11e

e x+5        ⎜        ⎟

[pic 39]

⎜        ⎟ =                 

[pic 40][pic 41]

3 ⎝ x − 5 ⎠

⎜ ( x − 5)2  ⎟

3( x − 5) 3  (2x +1)2 ( x − 5)

2 x−4

d ⎛ 2 x−4 ⎞ =

[pic 42]

1. Si y = e3x−2

entonces

⎜ e3x−2 ⎟

dx ⎝        ⎠

1. Como ejemplo calculemos la derivada de

y = eln2 ( x2 +3)

entonces

d  (eln2 ( x2 +3) ) =

dx[pic 43]

eln2 ( x2 +3)

d  (ln2 (x2 + 3)) = eln2 ( x2 +3)  ⎡2 ln(x2  + 3)  d  (ln(x2  + 3))⎤ =

...