Guia de calculo diferencial
Enviado por Alexander Jose • 7 de Febrero de 2016 • Tutoriales • 38.978 Palabras (156 Páginas) • 126 Visitas
Tomado del Libro: Cálculo Diferencial. Jorge Saenz
Elaborado el material: Profesora María Morales
UNIDAD I. INTRODUCCION AL SISTEMA DE NÚMEROS REALES. PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES.
El sistema de números reales consiste en un conjunto de elementos denominados números reales y de dos operaciones conocidas como adición y multiplicación. El conjunto de los números reales se representa por . La operación de la adición se representa por + y la multiplicación por *. Si a y b son elementos del conjunto R1, designa la suma de a y b, y el producto. La operación de la sustracción se define como la ecuación:[pic 1][pic 2][pic 3]
[pic 4]
donde –b representa el negativo de b, tal que . La operación de la división se define como la ecuación [pic 5]
[pic 6]
donde representa el reciproco de b, tal que .[pic 7][pic 8]
El sistema de los números reales se puede describir completamente por un conjunto de axiomas. (Se enunciaran más adelante)
Definición.
Si [pic 9]
- si y sólo si es positivo.[pic 10][pic 11]
- si y sólo si es positivo.[pic 12][pic 13]
Definición.
Si [pic 14]
- si y sólo si [pic 15][pic 16]
- si y sólo si [pic 17][pic 18][pic 19]
Los enunciados se conocen como desigualdades ()[pic 20]
Lcda. María Morales
Ejercicios Propuestos.
- Probar la proposición dada.
- [pic 21]
- [pic 22]
UNIDAD I. INECUACIONES Y DESIGUALDADES
Teorema 1.
- si y sólo si es positivo.[pic 23][pic 24]
- si y sólo si es negativo.[pic 25][pic 26]
Un numero x que se encuentre entre a y b si y . Esto puede escribirse como desigualdad continua:[pic 27][pic 28]
[pic 29]
Teorema 2.
- Si , entonces [pic 30][pic 31]
- Si entonces [pic 32][pic 33]
Teorema 3.
Si y si y , entonces .[pic 34][pic 35][pic 36][pic 37]
Teorema 4.
Supóngase que [pic 38]
- Si , entonces.[pic 39][pic 40]
- Si y entonces[pic 41][pic 42][pic 43]
- Si y , entonces[pic 44][pic 45][pic 46]
Teorema 5.
Supóngase que [pic 47]
- Si , entonces [pic 48][pic 49]
- Si y , entonces [pic 50][pic 51][pic 52]
- Si y , entonces [pic 53][pic 54][pic 55]
Lcda. María Morales
Teorema 6.
Si y , entonces .[pic 56][pic 57][pic 58]
Identifiquemos a con el eje, y se llamará a recta numérica o recta de los números reales.[pic 59][pic 60]
[pic 61][pic 62][pic 63][pic 64][pic 65][pic 66][pic 67][pic 68][pic 69][pic 70]
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
- El conjunto de todos los números que cumplen la desigualdad continua se denomina intervalo abierto y se denota porpor lo tanto, [pic 71][pic 72][pic 73]
[pic 74]
- El intervalo cerrado de y es el intervalo junto con los puntos extremos y y se simboliza por Así, [pic 75][pic 76][pic 77][pic 78][pic 79][pic 80]
[pic 81]
- El intervalo semi-abierto por la izquierda es el intervalo abierto junto con el punto extremo derecho b. Esto es, [pic 82][pic 83]
[pic 84]
- El intervalo semi-abierto por la derecha, de la misma manera lo denotamos por : [pic 85]
[pic 86]
Axiomas de la adición.
A1. . (clausura)[pic 87]
A2. , para todo . (Ley asociativa)[pic 88][pic 89]
A3. , , que denotaremos por tal que [pic 90][pic 91][pic 92]
(Inverso aditivo)[pic 93]
A5. ( Ley conmutativa)[pic 94][pic 95]
Definición. Diferencia [pic 96][pic 97]
Axiomas de la multiplicación.
M1. . (clausura)[pic 98]
M2., . (Ley asociativa)[pic 99][pic 100]
M3. , tal que y , . (Elemento identidad)[pic 101][pic 102][pic 103][pic 104]
Lcda. María Morales
M4. , , , tal que[pic 105][pic 106][pic 107]
(Inverso multiplicación)[pic 108]
M5. , ( Ley conmutativa)[pic 109][pic 110]
Definición. Cociente [pic 111]
Axioma Distributiva.
D1. , . (Ley distributiva)[pic 112][pic 113]
- Ejemplo. Probar que , [pic 114][pic 115]
Solución:
, por (A3)[pic 116]
, multiplicando por a en ambos lados[pic 117]
, por D1[pic 118]
sumando en ambos lados[pic 119][pic 120]
, por A2[pic 121]
por A4[pic 122]
por A3[pic 123]
NOTA: los intervalos se emplean para representar conjuntos de soluciones de desigualdades en una variable.
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