CALCULO INTEGRAL APLICADO

CALCULO INTEGRAL APLICADO

APLICACIONES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA

1. Una compañía actualmente produce 150 unidades por semana de un determinado producto. Por experiencia, saben que el costo de producir la unidad número 𝑥, en dólares, en una semana (costo marginal) está dado por: 𝐶’(𝑥) = 25 − 0,02𝑥. Determinar el costo extra por semana que debería considerarse al elevar la producción de 150 a 200 unidades por semana.

Solución. El costo marginal es la derivada de la función costo. Por lo tanto, la función costo se obtiene integrando la función coto marginal.

𝐶’(𝑥) = 25 − 0,02𝑥        esta expresión es equivalente a:

𝑑𝐶  = 25 − 0,02𝑥        separando los diferenciales, tenemos:[pic 1]

𝑑𝑥

𝑑𝐶  = (25 − 0,02𝑥)𝑑𝑥        ahora, integramos ambos miembros de la igualdad:

∫ 𝑑𝐶  = ∫(25 − 0,02𝑥)𝑑𝑥        evaluamos las integrales:

𝐶(𝑥) = ∫ 25𝑑𝑥 − ∫ 0,02𝑥𝑑𝑥

𝐶(𝑥) = 25𝑥 − 0,02 𝑥2  + 𝑘        simplificamos:[pic 2]

2

𝐶(𝑥) = 25𝑥 − 0,01𝑥2 + 𝑘        función costo.

El incremento en el costo está dado por: ∆𝐶 = 𝐶(𝑥2) − 𝐶(𝑥1), para este caso particular:

∆𝐶  = 𝐶(200) − 𝐶(150)        reemplazamos en la función costo:

∆𝐶  = 25(200) − 0,01(200)2 + 𝑘 − [25(150) − 0,01(150)2 + 𝑘]        resolvemos:

∆𝐶  = 5000 − 400 + 𝑘 − 3750 + 225 − 𝑘        resolvemos:

∆𝐶 = 1075

Po lo tanto, el costo de incrementar la producción de 150 a 200 unidades semanales es de 1075 dólares.

1. El ingreso marginal de una empresa está dado por 𝐼’(𝑥) = 15 − 0,01𝑥. Determine la ecuación de demanda para el producto de la empresa.

Solución. La ecuación de demanda la obtenemos a partir de la función ingreso, ya que

𝐼(𝑥) = 𝑝 . 𝑥 y de aquí despejamos 𝑝. Por ello, es necesario hallar la función ingreso. Así:

𝐼’(𝑥) = 15 − 0,01𝑥        esta expresión es equivalente a:

𝑑𝐼  = 15 − 0,01𝑥        separamos diferenciales:[pic 3]

𝑑𝑥

𝑑𝐼 = (15 − 0,01𝑥)𝑑𝑥        ahora, integramos ambos miembros de la igualdad:

∫ 𝑑𝐼  = ∫(15 − 0,01𝑥)𝑑𝑥        resolvemos:

𝐼(𝑥) = 15𝑥 − 0,01 𝑥2  + 𝑘        simplificamos:[pic 4]

2

𝐼(𝑥) = 15𝑥 − 0,005𝑥2 + 𝑘        (1)

Hallamos el valor de la constante 𝑘, sabiendo que cuando no se venden unidades el ingreso es cero, es decir, para 𝑥 = 0 se tiene que 𝐼(0) = 0, por lo tanto, en (1):

𝐼(0) = 15(0) − 0,005(0)2 + 𝑘        resolvemos:

0 = 0 + 𝑘        →        𝑘 = 0        Así que la ecuación (1) queda como:

𝐼(𝑥) = 15𝑥 − 0,005𝑥2        y esta es la función ingreso. Como: 𝐼(𝑥) = 𝑝. 𝑥, reemplazamos:

𝑝. 𝑥  = 15𝑥 − 0,005𝑥2        despejamos 𝑝:

𝑝 = 15𝑥−0,005𝑥2[pic 5]

𝑥

𝑝 = 𝑥(15−0,005𝑥)[pic 6]

𝑥

factorizamos en el numerador del segundo miembro: simplificamos 𝑥, y obtenemos:

𝑝 = 15 − 0,005𝑥        y esta es la ecuación de demanda del producto.

1. El costo marginal de un artículo cuando se producen 𝑞 unidades es: 𝐶’(𝑞) = −3𝑞2 + 60𝑞 + 4000, en dólares por unidad. Si el costo total de producción de las 10 primeras unidades es de 90000 dólares, ¿cuál es el costo total de producción de las 50 primeras unidades?

Solución.

𝐶’(𝑞) = −3𝑞2 + 60𝑞 + 4000        esta expresión es equivalente a:

𝑑𝐶  = −3𝑞2 + 60𝑞 + 4000        separamos diferenciales:[pic 7]

𝑑𝑞

𝑑𝐶  = (−3𝑞2 + 60𝑞 + 4000)𝑑𝑞        ahora integramos ambos miembros de la igualdad:

∫ 𝑑𝐶  = ∫(−3𝑞2 + 60𝑞 + 4000)𝑑𝑞        resolvemos las integrales:

𝐶(𝑞) = −3 𝑞3  + 60 𝑞2  + 4000𝑞 + 𝑘        simplificamos:[pic 8][pic 9]

3        2

𝐶(𝑞) = −𝑞3 + 30𝑞2 + 4000𝑞 + 𝑘        (1)

Como el costo total de producir las 10 primeras unidades es de 90000 dólares, esto indica que cuando 𝑞 = 10 → 𝐶(10) = 90000. Reemplazamos esta consideración en (1):

𝐶(10) = −(10)3 + 30(10)2 + 4000(10) + 𝑘        resolvemos:

90000 = −1000 + 3000 + 40000 + 𝑘        resolvemos:

90000 = 42000 + 𝑘        despejamos 𝑘, y se obtiene:

90000 − 42000 = 𝑘        →        𝑘 = 48000

Reemplazamos el valor de 𝑘 = 48000 en (1):

𝐶(𝑞) = −𝑞3 + 30𝑞2 + 4000𝑞 + 48000        y, esta es la función costo total.

Ahora, el costo de producir las primeras 50 unidades, lo hallamos reemplazando 𝑞 = 50 en la función costo total, así:

𝐶(50) = −(50)3 + 30(50)2 + 4000(50) + 48000        resolvemos operaciones:

𝐶(50) = −125000 + 75000 + 200000 + 48000        resolvemos operaciones:

𝐶(50) = 198000

Por lo tanto, el costo total de producir las primeras 50 unidades es de 198000 dólares.

1. Se estima que el precio 𝑃, en dólares, de cada unidad de cierto artículo cambia a una tasa

𝑑𝑃        −135𝑥

de 𝑑𝑥 = √9+𝑥2 , donde 𝑥 (en cientos) de unidades es la demanda del consumidor (el número[pic 10][pic 11]

de unidades compradas a ese precio). Suponga que se demandan 400 unidades (𝑥 = 4) cuando el precio es de 30 dólares por unidad.

1. Determine la función de demanda 𝑃(𝑥)
2. ¿A qué precio se demandan 300 unidades? ¿A qué precio no se demanda ninguna unidad?
3. ¿Cuántas unidades se demandan a un precio de 20 dólares por unidad?

Solución.

𝑑𝑃        −135𝑥

1. 𝑑𝑥  = √9+𝑥2        separamos diferenciales:[pic 12][pic 13]

𝑑𝑃  = −135𝑥 𝑑𝑥        integramos ambos miembros de la igualdad:[pic 14]

√9+𝑥2

∫ 𝑑𝑃 = ∫ −135𝑥 𝑑𝑥        resolvemos las integrales:[pic 15][pic 16]

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