CALCULO INTEGRAL
Enviado por VOL123 • 26 de Noviembre de 2019 • Tareas • 561 Palabras (3 Páginas) • 146 Visitas
POR: Valentina Orozco López
CRITERIO DEL COCIENTE
Sea una serie con términos distintos de cero.[pic 1]
- es absolutamente convergente si [pic 2][pic 3]
DEMOSTRACIÓN: asumir que [pic 4]
Y elegir un R tal que 0 ≤ r < R <1. Por la definición en el limite de4 una sucesión, existe un N > 0 tal que < R para todo n > N. Por tanto, se pueden escribir las siguientes desigualdades:[pic 5]
[pic 6]
[pic 7]
[pic 8]
La serie geométrica converge, y así, por el criterio de la comparación directa, la serie[pic 9]
[pic 10]
También converge. Esto implica a su vez que la serie converge, porque suprimir un numero finito de términos (n= N – 1) no afecta la convergencia. Por consiguiente, la serie es absolutamente convergente[pic 11][pic 12]
- La serie es divergente si [pic 13]
- Si el el criterio no es concluyente[pic 14]
El hecho de que el criterio del cociente no sea concluyente cuando puede verse comparando las dos series . La primera serie diverge y la segunda converge, pero en ambos casos [pic 15][pic 16][pic 17]
NOTA: es muy útil cuando hay factoriales (n!)
CRITERIO DE LA RAIZ
El siguiente criterio para convergencia o divergencia de series es especialmente adecuado para series que involucran n-ésimas potencias. La demostración de este teorema es similar a la dada para el criterio del cociente.
Sea una serie.[pic 18]
- converge absolutamente si [pic 19][pic 20]
- diverge si [pic 21][pic 22]
- El criterio de la raíz no es concluyente si [pic 23]
CRITERIO DE LA INTEGRAL
Ayuda a determinar si una serie converge al compararla con una integral impropia. Mediante el uso de una integral impropia se puede determinar la convergencia o divergencia de una serie infinita siempre que la función que se integra () tenga primitiva y la función sea continua, positiva y decreciente en el intervalo que va de uno a infinito.[pic 24]
Si f es positiva, continua y decreciente para x ≥ 1 y entonces [pic 25]
y [pic 26][pic 27]
o ambas convergen o ambas divergen
Aplicación del criterio de la integral [pic 28]
Como la f(x) = 1/( + 1) satisface las condiciones para el criterio de la integral f es positiva, continua y decreciente se puede integrar para obtener[pic 29]
Converge.[pic 30]
Como la integral impropia converge la serie infinita también converge
CRITERIO DE COMPARACIÓN DIRECTA
Permite determinar si una serie infinita es convergente o divergente. Mediante la comparación directa del término general de una serie con el término general de otra serie sobre la cual se tiene certeza de su convergencia o divergencia es posible establecer si la serie en cuestión converge o diverge Si se tienen dos series de términos positivos y una serie converge y el término general de esta serie es mayor al de la otra serie entonces esta segunda serie también converge Si la serie diverge y el término general es menor al de la segunda serie entonces esta segunda serie diverge también.
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