CALCULO INTEGRAL

POR: Valentina Orozco López

CRITERIO DEL COCIENTE

Sea  una serie con términos distintos de cero.[pic 1]

1.  es absolutamente convergente si [pic 2][pic 3]

DEMOSTRACIÓN: asumir que  [pic 4]

Y elegir un R tal que 0 ≤ r < R <1. Por la definición en el limite de4 una sucesión, existe un N > 0 tal que  < R para todo n > N. Por tanto, se pueden escribir las siguientes desigualdades:[pic 5]

[pic 6]

[pic 7]

[pic 8]

La serie geométrica converge, y así, por el criterio de la comparación directa, la serie[pic 9]

[pic 10]

También converge. Esto implica a su vez que la serie converge, porque suprimir un numero finito de términos (n= N – 1) no afecta la convergencia. Por consiguiente, la serie  es absolutamente convergente[pic 11][pic 12]

1. La serie es divergente si [pic 13]
2. Si el  el criterio no es concluyente[pic 14]

El hecho de que el criterio del cociente no sea concluyente cuando puede verse comparando las dos series . La primera serie diverge y la segunda converge, pero en ambos casos [pic 15][pic 16][pic 17]

NOTA: es muy útil cuando hay factoriales (n!)

CRITERIO DE LA RAIZ

El siguiente criterio para convergencia o divergencia de series es especialmente adecuado para series que involucran n-ésimas potencias. La demostración de este teorema es similar a la dada para el criterio del cociente.

Sea  una serie.[pic 18]

1.  converge absolutamente si [pic 19][pic 20]
2. diverge si [pic 21][pic 22]
3. El criterio de la raíz no es concluyente si [pic 23]

CRITERIO DE LA INTEGRAL

Ayuda a determinar si una serie converge al compararla con una integral impropia. Mediante el uso de una integral impropia se puede determinar la convergencia o divergencia de una serie infinita siempre que la función que se integra () tenga primitiva y la función sea continua, positiva y decreciente en el intervalo que va de uno a infinito.[pic 24]

Si f es positiva, continua y decreciente para x ≥ 1 y  entonces [pic 25]

  y    [pic 26][pic 27]

 o ambas convergen o ambas divergen

Aplicación del criterio de la integral [pic 28]

Como la f(x) = 1/(  + 1) satisface las condiciones para el criterio de la integral f es positiva, continua y decreciente se puede integrar para obtener[pic 29]

  Converge.[pic 30]

Como la integral impropia converge la serie infinita también converge

CRITERIO DE COMPARACIÓN DIRECTA

 Permite determinar si una serie infinita es convergente o divergente. Mediante la comparación directa del término general de una serie con el término general de otra serie sobre la cual se tiene certeza de su convergencia o divergencia es posible establecer si la serie en cuestión converge o diverge Si se tienen dos series de términos positivos y una serie converge y el término general de esta serie es mayor al de la otra serie entonces esta segunda serie también converge Si la serie diverge y el término general es menor al de la segunda serie entonces esta segunda serie diverge también.

Sea 0 ≤   ≤   para todo n.[pic 31][pic 32]

1. Si [pic 33]
2. Si [pic 34]

DEMOSTRACIÓN:

1. Determinar la convergencia o divergencia de [pic 35]

Esta seria se parece a     serie geométrica convergente [pic 36]

La comparación término a término es

[pic 37]

Por tanto, por criterio de comparación directa la serie converge.

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