Calculo integral
Enviado por MaryFer231099 • 26 de Febrero de 2018 • Documentos de Investigación • 2.325 Palabras (10 Páginas) • 1.224 Visitas
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Calculo Integral
CECyTE lll
Castro Jiménez María Fernanda
Flores Bravo María Guadalupe
Navarro Estrada Itzamara Montserrat
Padilla García Ariana Margarita
Gestión 5 “A”
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Índice
Introducción……………………………………………………………...3
Lanzamiento de un cohete……………………………………………..4
Aplicación de una integral definida……………………………………5
Propulsión de un cohete………………………………………………..8
Movimiento vertical de un cohete……………………………………11
Ecuaciones de movimiento…………………………………………...13
Aplicación de las EDO en la trayectoria de un cohete…………….16
Movimiento de un cohete en el espacio exterior…………………...19
Cohete de empuje constante (movimiento lineal)………………….21
Conclusiones…………………………………………………………..23
Referencias…………………………………………………………….24
Introducción
En este proyecto hablaremos sobre la aplicación del cálculo en el lanzamiento de un cohete.
Aquí le presentaremos la aplicación de la velocidad con integral definida, la propulsión de los cohetes, movimiento verticale, ecuaciones de movimiento así como la aplicación de la ecuación diferencial ordinaria entre otros puntos referentes al tema.
Mediante esto esperamos que aprendan con nosotras un poco más de la aplicación de esta materia que es fundamental en el campo académico.
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El lanzamiento de un cohete
El Cálculo se aplica en el lanzamiento de un cohete y del cual necesitamos encontrar el resultado de su área durante todo su recorrido. El cohete se mide desde el punto en el que se encuentra inmóvil hasta el punto de que llego, con esto nos daremos cuenta de que en un simple proyecto podemos aplicar fácilmente el Cálculo Integral.
Entonces podemos decir que el área debajo de la curva que hizo el cohete desde donde despego hasta donde llego fue de:
Se llama área de una superficie plana a la medida de la superficie que ocupa, esta se puede calcular a través de una integral, esta se aplica dependiendo de las características de la que se quiera conocer el área.
Se lanzó un cohete que tuvo una altura aproximada de 20 metros y la distancia recorrida fue de 10 metros, Calcula el área desde el punto de partida hasta el final de su recorrido.
A= 500/3 = 166.66 u²
El cálculo integral nos permite hacer el cálculo del área bajo la curva de una función gracias a la integración, de esta manera podemos entender algunas relaciones entre el cálculo y la cinemática y dinámica.
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UNA APLICACIÓN DE LA INTEGRAL DEFINIDA
“VELOCIDAD DE UN COHETE”
- TRABAJO PARA PONER EN ÓRBITA
La ley de gravitación universal establece que dos cuerpos con masas m1 y m2 se atraen mutuamente con una fuerza dada por
F(r) =Gm1m2r2
F(r) =Gm1m2r2
Donde r es la distancia entre los cuerpos y G=6.67∗10−11N⋅m2/kg2G=6.67∗10−11N⋅m2/kg2 la constante de gravitación.
Si uno de los cuerpos está fijo, se puede calcular el trabajo necesario para mover el otro desde r = a hasta r = b.
Como el trabajo es igual fuerza por distancia, para una cantidad pequeña, drdr, se tiene que
dW =F(r)dr
dW =F(r)dr
Sumando estas cantidades nos aproxima el trabajo y como la integral definida es el límite de esas sumas cuando n tiene a infinito, integrando en el intervalo (a,b)(a,b) se obtiene el trabajo.
O sea, por definición, el trabajo es el límite de una suma de Riemann que a su vez es una integral definida. Así, obtenemos
limn−>∞∑ni=1F(ri)b−an=∫baF(r)dr=Gm1m2∫badrr2==Gm1m2[−1r]ba=Gm1m2(1a−1b)=Gm1m2b−aab
limn−>∞∑i=1nF(ri)b−an=∫abF(r)dr=Gm1m2∫abdrr2==Gm1m2[−1r]ab=Gm1m2(1a−1b)=Gm1m2b−aab
Una fórmula para el trabajo WW que podemos usar.
- EJEMPLO
El trabajo requerido para lanzar un satélite de 1 000 kg, verticalmente a una órbita a 1 000 km de altura
W=Gm1m2b−aab=6.67∗10−11∗5.98∗1024∗103∗1066.37∗106∗7.37∗106==8.49610943428∗109 N⋅m=8496109434.28 Julio
W=Gm1m2b−aab=6.67∗10−11∗5.98∗1024∗103∗1066.37∗106∗7.37∗106==8.49610943428∗109 N⋅m=8496109434.28 Julio
El cálculo del trabajo nos permite hallar la velocidad media, v0v0, que debe desarrollar ese satélite, en su trayecto vertical para llegar desde la superficie de la tierra a dicha órbita.
- VELOCIDAD MEDIA DEL COHETE
Por las leyes físicas, el trabajo calculado debe ser igual a la energía cinética desarrollada por el cohete. O sea,
W=Gm1m2b−aab=m2v202⟺v20=2Gm1b−aab
W=Gm1m2b−aab=m2v022⟺v02=2Gm1b−aab
de donde la velocidad media es v0=2Gm1b−aab−−−−−−−−√v0=2Gm1b−aab
que sale independiente de su peso (m1m1 es la masa del planeta).
EJEMPLO
La velocidad media que debe llevar un cohete de 1 000 kg hasta llegar a una órbita de 1 000 km de altura es
v0=2Gm1b−aab−−−−−−−−√=2∗6.67∗10−11∗5.98∗1024∗1066.37∗106∗7.37∗106−−−−−−−−−−−−−−−−√==4122.16 m/s=4.12 km/s
- ESCAPE DE LA ATRACCIÓN PLANETARIA
Sabemos que el trabajo que realiza un cohete, en su desplazamiento de aa hasta bb, es el límite de una suma de Riemann que a su vez es la integral definida.
W=∫baF(r)dr=Gm1m2∫badrr2=Gm1m2[−1r]ba==Gm1m2(1a−1b)=Gm1m2b−aab
W=∫abF(r)dr=Gm1m2∫abdrr2=Gm1m2[−1r]ab==Gm1m2(1a−1b)=Gm1m2b−aab
Ahora, como el cohete debe quedar fuera de la influencia gravitatoria del planeta y suponemos que es lanzado desde la superficie del mismo, se tiene que el límite inferior de la integral es el radio medio del planeta a=Ra=R y el superior ∞∞. O sea, debemos calcular una integral impropia. Equivalentemente, el límite cuando b→∞b→∞ de la integral anterior.
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