Calculo Integral

Índice De Calculo Integral

I. Teorema fundamental del cálculo.

I.1 Medición aproximada de figuras.

I.2 Notación sumatoria.

I.3 Sumas de Riemann.

I.4 Definición de integral definida.

I.5 Teorema de existencia.

I.6 Propiedades de la integral definida.

I.7 Función primitiva.

I.8 Teorema fundamental del cálculo.

I.9 Calculo de integrales definidas.

        I.10 Integrales impropias.

II. Integral indefinida y métodos de integración.

II.1 Definición de integral indefinida.

II.2 Calculo de integrales indefinidas.

II.2.1 Directas.

II.2.2 Con cambio de variables.

II.2.3 Trigonométricas.

II.2.4 Por partes.

II.2.5 Por sustitución trigonométricas.

II.2.6 Por funciones parciales.

III. Aplicación de la integral.

III.1 Áreas.

III.1.1 Área bajo la gráfica de una función.

III.1.2 Área entre las gráficas de funciones.

III.2 Longitud de curvas.

III.3 Calculo de volúmenes de sólidos y de sólidos en revolución.

III.4 Calculo de centroides.

III.5 Otras aplicaciones.

Método de Sustitución

En muchos casos, el cálculo de una integral que puede parecer complicada requiere de algunos cambios de variables que la transforme en una integral más simple, donde se identifique rápidamente la antiderivada. Esta es la idea básica del método de sustitución.

Ejemplo
[pic 1]

Definimos a la función                  [pic 2][pic 3]

En donde                                  [pic 4]

[pic 5]

[pic 6]

            [pic 7]

[pic 8]

Retirando el 10 del miembro de la derecha

 [pic 9]

Regresando a la integral original     [pic 10]

                                                            [pic 12][pic 13][pic 11]

                                                           [pic 14]

Integrando                                        [pic 15]

                                                    [pic 16]

Transformando el valor de     [pic 18][pic 19][pic 17]

                                                                 [pic 20]

Ejemplo

Sea                                [pic 21]

Identificamos el argumento de la función con el cambio de variable [pic 22]

[pic 23]

 [pic 24][pic 25]

[pic 26]

[pic 27][pic 28][pic 29]

  [pic 30]

                           [pic 33][pic 34][pic 31][pic 32]

 [pic 35]

                                   [pic 36][pic 37]

 [pic 38]

Como  [pic 39]

 [pic 40]

 Cambiando el valor de [pic 42][pic 43][pic 41]

 [pic 44]

Ejemplo

Resuelva por el método de sustitución

[pic 45]

Identificando [pic 46]

[pic 47]

[pic 48]

[pic 49]

Donde[pic 50]

  [pic 52][pic 51]

                      [pic 53][pic 54]

Sustituyendo

 [pic 55]

Reagrupando

 [pic 56]

Integrando

 [pic 57]

Sustituyendo [pic 59][pic 60][pic 58]

[pic 61]

Ejemplo

Resuelva por el método de sustitución la siguiente integral

[pic 62]

Proponiendo a

[pic 63]

[pic 64]

[pic 65]

Sustituyendo en la integral

[pic 66]

[pic 67]

Resolviendo tenemos

[pic 68]

[pic 69][pic 70]

[pic 71]

Ejemplo

Calcular la siguiente integral

[pic 72]

Como observamos en termino  está relacionado con  . por o anterior si hacemos[pic 73][pic 74]

       [pic 75]

   [pic 76]

[pic 77]

Sustituyendo los términos en la integral inicial[pic 78][pic 79]

 [pic 80]

          [pic 81]

    [pic 82]

Reacomodando

 [pic 83]

 [pic 84]

 [pic 85]

Sustituyendo por el valor de   [pic 86]

[pic 87][pic 88]

 [pic 89]

Ejemplo

Calcular la integral

[pic 90]

Se observa que  es una función compuesta de tal manera que[pic 91]

[pic 92]

[pic 93]

[pic 94]

Sustituyendo el valor de  y  tenemos[pic 97][pic 98][pic 95][pic 96]

[pic 99]

                                                                 [pic 100]

[pic 101]

[pic 102]

[pic 103]

Haciendo el cambio de variable[pic 104][pic 105]

[pic 106]

Ejemplo

Calcular

[pic 107]

Si hacemos  [pic 108][pic 109]

       [pic 110]

[pic 111]

[pic 112]

   → [pic 113][pic 114]

                                   [pic 115]

[pic 116]

[pic 117]

[pic 118]

                                                       [pic 119]

Solución de la calculadora Ti-nspire

[pic 120]

[pic 121]

[pic 122]

[pic 123]

[pic 124]

                                        si [pic 125]

                                                   [pic 126]

                                        Asimismo[pic 127]

 [pic 128]

Además, si

        [pic 129]

        [pic 130]

Sustituyendo

         [pic 131]

 [pic 132]

 [pic 133]

Regresando el valor de [pic 134]

 [pic 135]

 [pic 136]

 [pic 137]

[pic 138][pic 139]

 [pic 140]

Integrales logarítmicas

[pic 141]

[pic 142]

Integrales exponenciales

[pic 143]

[pic 144]

[pic 145]

[pic 146]

Ejercicios

[pic 147]

#1            →       [pic 150][pic 151][pic 148][pic 149]

                         [pic 152][pic 153]

[pic 154]

Sustituyendo

[pic 155]

[pic 156][pic 157]

[pic 158]

[pic 159]

#2             hacemos las sustitución trigonométrica[pic 160]

[pic 161]

                →          [pic 162][pic 163]

      [pic 164]

     [pic 166][pic 167][pic 165]

[pic 168]

[pic 169]

Integrales indefinidas

Técnicas de integración

Tipo Exponencial

[pic 170]

[pic 171]

Ejemplo #1[pic 172]

                →                           [pic 173][pic 174][pic 175]

      [pic 176]

Sustituyendo:[pic 177][pic 178]

[pic 179]

Ejemplo #2[pic 180]

                →                             [pic 181][pic 182][pic 183]

...