Calculo integral

CAP´ITULO VII. INTEGRACIO´N INDEFINIDA

SECCIONES

1. Integrales inmediatas.
2. Integraci´on por sustituci´on.
3. Integraci´on por partes.
4. Integraci´on por fracciones  simples.
5. Aplicaciones de la integral indefinida.
6. Ejercicios propuestos.

1. INTEGRALES INMEDIATAS.

[pic 1]

Se  dice  que  una  funci´on  y  =  F (x)  es  integral  indefinida  (tambi´en  llamada primitiva o antiderivada) de otra funci´on y = f (x) cuando Fj(x) = f (x). La notaci´on usual para representar este  hecho es  la  siguiente:

F (x) = ∫ f (x)dx.

El  t´ermino  ”dx”indica  que  la  variable  respecto  a  la  cual  se  est´a  integrando es ”x”.

Para calcular integrales se deben encontrar funciones cuya derivada sea la funci´on  original.  Se  tratar´a  entonces  de  aplicar  las  reglas  de  derivaci´on  en sentido inverso, donde conocidas las derivadas de las funciones, se encuentren las propias funciones.

Una diferencia fundamental consiste en que mientras cada funci´on s´olo tiene una derivada, tiene infinitas integrales, porque si Fj(x) = f (x), entonces [F (x) + C]j = f (x) para cualquier constante C.[pic 2]

Esto se indicar´a escribiendo     f (x)dx = F (x) + C. De  este  modo, todas las primitivas  de  una  funci´on  se  obtienen  sumando  una  constante  arbitraria  a una  primitiva  particular.  Las  siguientes  propiedades  permitir´an  descompo-

ner integrales  en otras m´as sencillas:

1. ∫ fj(x)dx = f (x) + C.
2. ∫ [f (x) ± g(x)]dx = ∫ f (x)dx ± ∫ g(x)dx.
3. ∫ kf (x)dx = k ∫ f (x)dx, k ∈ R.

De  las  f´ormulas  de  derivaci´on  se  obtiene  la  siguiente  tabla  de  integrales inmediatas, sin m´as  que cambiar el orden de  las  f´ormulas.

n+1[pic 3]

1)      n     =        +    si    =   1.

n + 1

1. ∫ sen xdx = − cos x + C.
2. ∫ cos xdx = sen x + C.
3. ∫ sec2 xdx = tg x + C.
4. ∫ sec x tg xdx = sec x + C.
5. ∫ cosec x cotg xdx = − cosec x + C.
6. ∫ cosec2 xdx = − cotg x + C.

8) ∫

1

√1 − x2[pic 4]

dx = arc sen x + C.

1. ∫    1        dx = arc tg x + C.[pic 5]
2. ∫        √ 1        dx = arcsec x + C.[pic 6]

x  x2 − 1

11) ∫  1 dx = ln |x| + C.[pic 7]

x[pic 8]

12)        x        =                + ln a

Veremos a continuaci´on algunos casos de aplicaci´on de las f´ormulas anterio- res.

Soluci´on[pic 9]

Aplicaremos las propiedades (ii) y (iii) para descomponer la integral en otras integrales  m´as  simples.

I = 4 ∫ x3dx − 5 ∫ x2dx + 7 ∫ dx.

Aplicando la regla (1) se pueden resolver las integrales que resultan:

4x4[pic 10]

[pic 11]

5x3

[pic 12]

4        5x3

[pic 13]

I =  4   −

3   + 7x + C = x  −

3   + 7x + C.

Ten en cuenta que   dx =   x0dx = x1/1 + C = x + C.

Aunque se deber´ıa sumar una constante a cada integral, como esa constante es arbitraria, se an˜ade al resultado final una constante, que ser´ıa la suma de cada una de las restantes.

[pic 14]

Soluci´on

Escribimos 1/x2 como x−2 y tenemos:

∫        −2

x−1        1

[pic 15]

I =        x

dx =

−1  + C = − x + C.

Soluci´on[pic 16]

Si escribimos el integrando en forma de potencia:[pic 17][pic 18]

∫        1/3[pic 19][pic 20][pic 21]

z4/3

[pic 22]

3 4/3

Soluci´on[pic 23]

Si separamos en dos integrales, resulta:

I = ∫ √xdx − ∫ x√xdx = ∫ x1/2dx − ∫ x3/2dx = 2 x3/2 − 2 x5/2 + C.[pic 24][pic 25][pic 26][pic 27]

[pic 28]

Soluci´on

Si escribimos el integrando en forma de potencia, tenemos:

I = ∫ x1/2dx − 1 ∫ xdx + 2 ∫ x−1/2dx = 2 x3/2 − 1 x2 + 4x1/2 + C.[pic 29][pic 30][pic 31]

Soluci´on[pic 32]

Desarrollando la potencia,

I        =  ∫ (9s2 + 24s + 16)ds = ∫ 9s2ds + ∫ 24sds + ∫ 16ds

= 9 s3  + 24 s2  + 16  +        = 3 3 + 12 2 + 16 +[pic 33][pic 34]

3        2        s        C        s        s        s        C.

...