CONJUNTOS NUMERICOS Y REPRESENTACION GRAFICA
Camilo MosqueraDocumentos de Investigación22 de Abril de 2018
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INTRODUCCIÓN
Con el presente trabajo se busca proporcionar al lector, una fuente de aprendizaje en la educación matemática que le permita no solo abordar temas generales de esta área, sino interpretar y evaluar críticamente la información que le es suministrada.
Esa así como en el siguiente trabajo se han estructurado conceptos y operaciones básicas del algebra, que permitirán afianzar los conocimientos elementales de los temas que se tocaran a lo largo de la carrera.
CONJUNTOS NUMERICOS Y REPRESENTACION GRAFICA
Los conjuntos números han sido definidos como “agrupaciones de números que guardan una serie de propiedades estructurales.”[1] Es así como a lo largo de la historia han sido utilizados para resolver problemas y ahondar en el estudio de las matemáticas. En su orden de aparición, a estos campos se les asignaron una letra mayúscula para ser diferenciados entre sí:[2]
N | Z | Q | Q´ | R, Re | I | C |
Números naturales. | Números enteros. | Números racionales. | Números irracionales. | Números reales. | Números imaginarios. | Números complejos. |
MATEMATICAS PARA EL NUEVO ICFES. Los Tres Editoriales Ltda. 2002. Cali, Valle del Cauca. Pág.5
“Por ejemplo el sistema más usual en aritmética natural está formado por el conjunto de los números naturales, con la suma, la multiplicación y las relaciones usuales de orden aditivo.”
“Sus características estructurales más importantes son:
- Dotados de operadores, admiten estructura algebraica estable
- Están dotados de propiedades topológicas (o pueden llegar a estarlo)
- Admiten relación de orden
- Admiten relación de equivalencia
- Son representables mediante diagramas de Hasse, diagramas de Euler y diagramas de Venn, pudiéndose tomar una combinación de ambos en un diagrama de Euler-Venn con la forma característica de cuadrilátero y además pudiéndose representar internamente un diagrama de Hasse (es una recta).
- Todos los conjuntos numéricos se construyen desde una estructura más simple hasta otra más compleja”.[3]
1)[pic 1]
1) https://es.wikiversity.org/wiki/Principales_conjuntos_num%C3%A9ricos
NUMEROS NATURALES
La necesidad de contar desembocó directamente en la creación y el uso de los números naturales. Son los números más simples de los que hacemos uso, se denotan por [pic 2] y están formados por los números 1,2,3,4,5... Se denominan también números enteros positivos.
[pic 3]
2)
2)https://es.wikiversity.org/wiki/Principales_conjuntos_num%C3%A9ricos
[pic 4]
1.2 NUMEROS ENTEROS
“A este conjunto pertenecen los enteros negativos, los enteros positivos y el cero, que no es ni positivo ni negativo, sino neutro. Se denotan por [pic 5] . El conjunto de los números enteros incluye a los naturales, [pic 6].”[4]
[pic 7]
[pic 8]
1.3 NUMEROS RACIONALES
“Son aquellos que se pueden expresar como couciente entre números enteros. También podemos referirnos a ellos como el conjunto de todos los números decimales finitos, periódicos y semiperiódicos y, por lo tanto, todo cuociente entre números enteros tiene su equivalente decimal. Este conjunto se simboliza con la letra ℚ.
[pic 9]
[pic 10]
Ejemplos de números racionales son:
- Cualquier número natural (1, 7, 29, 1.357, etc.)
- Cualquier número entero (-12, -1.024, 0, 27, etc.)
- Cualquier número decimal finito ( [pic 11], etc.)
- Cualquier número decimal periódico ( [pic 12], etc)
- Cualquier número decimal semiperiódico ( [pic 13], etc)”[5]
1.4 NUMEROS REALES
El conjunto de los números reales es la unión entre el conjunto de los números racionales y los irracionales:
[pic 14].
3)[pic 15]
3)
“Con los números reales podemos realizar todas las operaciones, excepto la radicación de índice par y radicando negativo y la división por cero.”[6]
[pic 16]
1.5 NUMEROS COMPLEJOS
La insuficiencia de los números reales para denotar raíces de polinomios como [pic 17] lleva a la concepción de los números complejos. Se denotan por [pic 18]. Las raíces del polinomio anterior son [pic 19] y [pic 20], de manera que definimos el número [pic 21] para poder trabajar con sus raíces solucionar este problema, de manera que: [pic 22]. Todos los números complejos (también se les llama imaginarios) tienen la forma:
[pic 23] donde [pic 24] y [pic 25] son números reales. Denominamos a [pic 26] parte real del complejo y a [pic 27] parte imaginaria.
Cuando [pic 28], z es un número real, y cuando [pic 29], z es un número imaginario puro.
De aquí deducimos que los números reales están incluídos dentro del conjunto de los complejos, o lo que es lo mismo:
[pic 30]
Estos números se suelen representar como vectores en un gráfico donde el eje x es la parte real del número y el eje y es la parte imaginaria. Como se pueden tratar como vectores, se pueden expresar principalmente de dos formas, en forma binómica y de forma polar.
Así podemos deducir que la suma de complejos cumple la regla del paralelogramo, es decir:
[pic 31]
El producto de complejos es:
En forma binómica:
[pic 32]
En forma polar:
[pic 33]
El cociente de complejos es:
En forma binómica:
[pic 34]
En forma polar:
[pic 35]
La raíz enésima de un complejo es:
En forma polar:
[pic 36]
Las raíces enésimas de un complejo son los vértices del polígono regular de n lados.
Representación binomica
“Un número complejo se representa en forma binomial como:
[pic 37]
La parte real del número complejo y la parte imaginaria, se pueden expresar de varias maneras, como se muestra a continuación:
[pic 38]
[pic 39]
[pic 40]
Un número complejo representado como un punto (en rojo) y un vector de posición (azul) en un diagrama de Argand; [pic 41] es la expresión binomial del punto.
Representación polar
El argumento φ y módulo r localizan un punto en un diagrama de Argand; [pic 42] o [pic 43] es la expresión polar del punto.
En esta representación, [pic 44] es el módulo del número complejo y el ángulo [pic 45] es el argumento del número complejo.
[pic 46]
[pic 47]
Despejamos a y b en las expresiones anteriores y, utilizando la representación binomial:
...