Características de las matrices

CARACTERÍSTICAS DE LAS MATRICES

Una matriz es un conjunto ordenado de elementos que están dispuestos en filas y en columnas, intersecándose para relacionar dichos elementos. Una matriz de números reales de m filas y n columnas es, por definición, el siguiente esquema, donde cada elemento representa la fila y tiene un valor comprendido entre 1 y m representa la columna y tiene un valor comprendido entre 1 y n. En intervalos.

Así, cuando una matriz consta de m filas y n columnas se dice que la matriz es de tipo . Por tanto, se designa por al conjunto de las matrices de números reales.

APLICACIONES DE LAS MATRICES

En la vida diaria el concepto de matrices es de gran relevancia, ya quelas matrices se usan como contenedores para almacenar datos relacionados. Aunque en nuestros tiempos se consideran primero las matrices antes que los determinantes, en sus inicios no fue así. Se le daba más énfasis al estudio de los determinantes que a las matrices.

Actualmente, las matrices son de mucha utilidad en problemas prácticos de la vida diaria. Sobre todo en aquellos que involucran Sistemas de Ecuaciones Lineales. Por ejemplo, considera lo siguiente:

La siguiente información corresponde a la cantidad de energía(calorías) y proteínas (gramos) que aportan a nuestro organismo una porción de leche en polvo con una porción de alimento fortificante.

¿Cuántas porciones de leche en polvo y alimento fortificante se requiere para ingerir 1800 calorías y 70 gramos de proteínas?

Sea X la cantidad de porciones de alimento fortificante y sea y la cantidad de porciones de leche. De acuerdo a esto, podemos formar la siguiente ecuación:

Por último se puede decir que las matrices se ocupan en muchos aspectos de la vida diaria, como por ejemplo:

-Utilización de medicamentos.

-Sistema de aguas.

-Cuestiones financieras.

-Tablas nutricionales.

ELEMENTOS DE LAS MATRICES

Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento.

Un elemento se distingue de otro por la posición que ocupa, es decir, la fila y la columna a la que pertenece.

TIPOS DE MATRICES

Matriz Cuadrada

Es aquella que tiene igual número n de filas que de columnas (n=m). En ese caso se dice que la matriz es de orden n. Por ejemplo, la matriz.

uede ser una matriz con valores

O también una matríz con subíndices (Genérica)

Puede ser de otro tamaño e incluso con variables

Matriz Nula

Una matriz cero o matriz nula es una matriz con todos sus elementos nulos, o sea de valor cero. Algunos ejemplos de matrices nulas son:

Por lo tanto, una matriz nula de orden m x n asume la forma:

Una matriz cero es, al mismo tiempo, matriz simétrica, antisimétrica, nilpotente y singular.

Matriz Diagonal

Una matriz cuadrada, A=( ij a ), es diagonal si ij a =0, para i ≠ j . Es decir, si

todos los elementos situados fuera de la diagonal principal son cero. Por ejemplo, la siguiente

matriz es diagonal:

Matriz Unidad:

Es una matriz diagonal cuyos elementos de la diagonal son todos 1. A continuación mostramos la matriz unidad de orden 2.

Matriz triangular:

Es una matriz cuadrada en la que todos los elementos situados por debajo (por encima) de la diagonal principal son cero. Por ejemplo, la siguiente matriz es triangular:

Este tipo de matrices también se conoce como matriz escalonada. En algunos casos se hace la distinción entre las matrices triangulares superiores o inferiores en dependencia de los elementos nulos de la matriz; los que están por debajo o por encima de la diagonal principal.

Matriz Opuesta

Teniendo una matriz determinada, se llama matriz opuesta de la antes mencionada a aquella que tiene por elementos los opuestos de los elementos de la matriz original.

Matriz traspuesta

Se llama matriz traspuesta de una matriz A a aquella matriz cuyas filas coinciden con las columnas de A y las columnas coinciden con las filas de A.

• Para una matriz , se define la matriz transpuesta de , denotada por , como . Es decir, las filas de la matriz corresponden a las columnas de y viceversa.

Matriz Normal

Sea A matriz compleja cuadrada, entonces es una matriz normal si y sólo si

donde A* es la matriz traspuesta conjugada de A (también llamado hermitiano)

Matriz conjugada

es el resultado de la sustitución de los elementos de una matriz por sus valores conjugados. Es decir, la parte imaginaria de los elementos de la matriz cambian su signo.

Matriz Invertible

También llamada matriz , no singular, no degenerada, regular.

Una matriz cuadrada A de orden n se dice que es invertible si existe otra matriz cuadrada de orden n, llamada matriz inversa de A y representada como A−1, tal que

AA−1 = A−1A = In,

donde In es la matriz identidad de orden n y el producto utilizado es el producto de matrices usual. Una matriz tiene inversa siempre que su determinante no sea cero.

La inversión de matrices es el proceso de encontrar la matriz inversa de una matriz dada.

Matrices Transpuesta

Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas

(At)t = A

(A + B)t = At + Bt

(α •A)t = α• At

(A • B)t = Bt • At

OPERACIONES CON MATRICES

Sumar y restar matrices

Para sumar y restar matrices, éstas pueden ser, las dos cuadradas o las dos rectangulares. El número de filas y columnas de una han de ser igual al número de filas y columnas de la segunda.

Sumar:

Sumamos los valores que ocupan la misma posición.

El valor que se halla en la posición (1 1) de A con el valor de la posición (1 1) de la matriz B.

El valor que se halla en la posición (1 2) de A con el valor de la posición (1 2) de la matriz B.

El valor que se halla en la posición (1 3) de A con el valor de la posición (1 3) de la matriz B. De este modo haremos con el resto de las filas.

Vamos a sumar las matrices A y B:

Restar matrices:

Es lo mismo que en el caso anterior pero restando los valores que ocupan las mismas posiciones:

Ejemplo:

Ejercicio #8 ¿Cuánto vale:

Respuesta:

Multiplicar matrices:

Vamos a considerar 2 casos:

1) Multiplicar una matriz por un escalar

Multiplicamos cada elemento por el escalar:

Multiplicar dos matrices es preciso que la 1ª tenga tantas columnas como filas la 2ª matriz. El resultado será una matriz que tiene el mismo número de filas como tiene la 1ª y tantas columnas como tiene la 2ª:

Multiplicamos las matrices:

Tenemos que multiplicar el primer elemento de la 1ª fila de A (3) por el primer elemento de la fila de B (2).

El segundo elemento de la fila 1ª de A (2) por el 2º elemento de la fila de B (-4).

El tercer elemento de la 1ª fila de A (6) por el tercer elemento de la fila de B (6).

Hago lo mismo con los elementos de la 2º fila de A:

Multiplico el primer elemento de la 2ª fila de A (– 2) por el primer elemento de la fila de B (2).

El segundo elemento de la fila 2ª de A (4) por el 2º elemento de la fila de B (-4).

El tercer elemento de la 2ª fila de A (6) por el tercer elemento de la fila de B (6).

PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON MATRICES

SUMA DE MATRICES:

Sean dos matrices del tipo A y B:

Por definición, la suma de A y B es la matriz que se obtiene sumando cada elemento de A con su correspondiente elemento de B, así:

El conjunto de las matrices de tipo con la suma tiene estructura de cuerpo conmutativo. Mi apoyo de la afirmación anterior la saco de las propiedades más importantes de la suma de matrices de tipo :

• Propiedad conmutativa: para dos o más matrices cualesquiera A y B, siempre se cumple que A+B=B+A.

• Propiedad asociativa: (A+B)+C=A+(B+C).

• Elemento neutro: existe elemento neutro, una matriz 0 tal que para todas la matriz A se verifica lo siguiente: A+0=0+A=A. La matriz 0 posee todos sus elementos igualados a cero y se denomina matriz nula de tipo .

• Elemento simétrico: existe elemento simétrico para toda la matriz A, que es . Además se cumple que . La matriz -A de A es aquélla que posee los mismos elementos pero cambiados de signo, todos ellos.

PRODUCTO DE UN Nº REAL POR UNA MATRIZ:

Si consideramos r un nº real y A una matriz de tipo , se verifica que el producto de r por A es la matriz de tipo que se obtiene al multiplicar r por cada uno de los elementos de

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